Упр.384 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Тело движется прямолинейно со скоростью $$v(t)$$ (м/с). Вычислить путь, пройденный телом за промежуток времени от $$t=t_1$$ до $$t=t_2$$, если:

1. $$v(t)=3t^2+1$$, $$t_1=0$$, $$t_2=4$$;
2. $$v(t)=2t^2+t$$, $$t_1=1$$, $$t_2=3$$;
3. $$v(t)=6t^2+4$$, $$t_1=2$$, $$t_2=3$$;
4. $$v(t)=t^2-t+3$$, $$t_1=0$$, $$t_2=5$$.

Путь при прямолинейном движении с неотрицательной скоростью находим по формуле

$$S=\int\limits_{t_1}^{t_2} v(t)\,dt.$$

1. $$v(t)=3t^2+1,\quad t_1=0,\quad t_2=4.$$

   $$S=\int\limits_0^4 (3t^2+1)\,dt=\left(t^3+t\right)\Big|_0^4=(4^3+4)-(0^3+0)=64+4=68.$$

   $$S=68\text{ м}.$$

2. $$v(t)=2t^2+t,\quad t_1=1,\quad t_2=3.$$

   $$S=\int\limits_1^3 (2t^2+t)\,dt=\left(\frac{2t^3}{3}+\frac{t^2}{2}\right)\Big|_1^3.$$

   $$S=\left(\frac{2\cdot 3^3}{3}+\frac{3^2}{2}\right)-\left(\frac{2\cdot 1^3}{3}+\frac{1^2}{2}\right)=18+\frac{9}{2}-\frac{2}{3}-\frac{1}{2}.$$

   $$S=\frac{52}{3}+\frac{8}{2}=\frac{52}{3}+4=\frac{64}{3}=21\frac{1}{3}.$$

   $$S=21\frac{1}{3}\text{ м}.$$

3. $$v(t)=6t^2+4,\quad t_1=2,\quad t_2=3.$$

   $$S=\int\limits_2^3 (6t^2+4)\,dt=\left(2t^3+4t\right)\Big|_2^3.$$

   $$S=(2\cdot 3^3+4\cdot 3)-(2\cdot 2^3+4\cdot 2)=54+12-16-8=42.$$

   $$S=42\text{ м}.$$

4. $$v(t)=t^2-t+3,\quad t_1=0,\quad t_2=5.$$

   $$S=\int\limits_0^5 (t^2-t+3)\,dt=\left(\frac{t^3}{3}-\frac{t^2}{2}+3t\right)\Big|_0^5.$$

   $$S=\left(\frac{5^3}{3}-\frac{5^2}{2}+3\cdot 5\right)-\left(\frac{0^3}{3}-\frac{0^2}{2}+3\cdot 0\right).$$

   $$S=\frac{125}{3}-\frac{25}{2}+15=\frac{250-75}{6}+15=\frac{175}{6}+15=\frac{175}{6}+\frac{90}{6}=\frac{265}{6}=44\frac{1}{6}.$$

   $$S=44\frac{1}{6}\text{ м}.$$

Ответ

1) $$68\text{ м}$$; 2) $$21\frac{1}{3}\text{ м}$$; 3) $$42\text{ м}$$; 4) $$44\frac{1}{6}\text{ м}$$.