Упр.383 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) параболой у = -х2 + 4х — 3 и прямой, проходящей через точки (1; 0) и (0; -3);
2) параболой у = -х2 и прямой и = -2;
3) параболами у = 1 — х2 и у = х2 — 1;
4) графиком функции у = х3 и прямыми y = 1 и х = -2;
5) прямой у = х и графиком функции у = х3, -1 < =х < =0; 6) параболами у = х2- 2х и y = -х2.

Подробный ответ

Прямая проходит через точки $(1;0)$ и $(0;-3)$, значит её уравнение:
$$y=3x-3.$$
Точки пересечения с параболой:
$$-x^2+4x-3=3x-3,$$
$$x^2-x=0,$$
$$x(x-1)=0,$$
$$x=0,\; x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_0^1\bigl((-x^2+4x-3)-(3x-3)\bigr)\,dx =\int_0^1(-x^2+x)\,dx. $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_0^1 =-\frac13+\frac12=\frac16. $$
Точки пересечения параболы $y=-x^2$ и прямой $y=-2$:
$$-x^2=-2,$$
$$x^2=2,$$
$$x=\pm\sqrt2.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}\bigl((-x^2)-(-2)\bigr)\,dx =\int_{-\sqrt2}^{\sqrt2}(2-x^2)\,dx. $$
$$ S=\left(2x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-\sqrt2}^{\sqrt2} =\frac{8\sqrt2}{3}. $$
Точки пересечения парабол $y=1-x^2$ и $y=x^2-1$:
$$1-x^2=x^2-1,$$
$$2x^2=2,$$
$$x^2=1,$$
$$x=\pm1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-1}^{1}\bigl((1-x^2)-(x^2-1)\bigr)\,dx =\int_{-1}^{1}(2-2x^2)\,dx. $$
$$ S=\left(2x-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =\frac{8}{3}. $$
Точка пересечения графика $y=x^3$ и прямой $y=1$:
$$x^3=1,\qquad x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-2}^{1}(1-x^3)\,dx. $$
$$ S=\left(x-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\left(1-\frac14\right)-\left(-2-4\right) =\frac{27}{4}. $$
На отрезке $[-1;0]$ прямая $y=x$ расположена выше графика $y=x^3$.
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-1}^{0}(x-x^3)\,dx. $$
$$ S=\left(\frac{x^2}{2}-\frac{x^4}{4}\right)\Bigg|_{-1}^{0} =0-\left(\frac12-\frac14\right)=\frac14. $$
Точки пересечения парабол $y=x^2-2x$ и $y=-x^2$:
$$x^2-2x=-x^2,$$
$$2x^2-2x=0,$$
$$2x(x-1)=0,$$
$$x=0,\; x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_0^1\bigl((-x^2)-(x^2-2x)\bigr)\,dx =\int_0^1(2x-2x^2)\,dx. $$
$$ S=\left(x^2-\frac{2x^3}{3}\right)\Bigg|_0^1 =1-\frac23=\frac13. $$