Упр.382 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) параболой у = (х + 2)2 и прямой у = х + 2;
2) графиком функции у = корень x и параболой у = х2;
3) графиком функции у = корень x и прямой у = х;
4) параболой у = (х — 1)2 и прямой у = 5 + х;
5) прямой у= 1, осью Oy и графиком функции у = sinx, 0 < = х < = пи/2.

Подробный ответ

Найдём точки пересечения параболы $$y=(x+2)^2$$ и прямой $$y=x+2$$:
$$ (x+2)^2=x+2 $$
$$ x^2+4x+4=x+2 $$
$$ x^2+3x+2=0 $$
$$ (x+1)(x+2)=0,\quad x=-2,\,-1 $$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-2}^{-1}\bigl((x+2)-(x+2)^2\bigr)\,dx $$
$$ S=\int_{-2}^{-1}(-x^2-3x-2)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-2x\right)_{-2}^{-1} $$
$$ S=\frac{1}{6} $$
Точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x^2$$:
$$ \sqrt{x}=x^2 $$
$$ x=0,\;1 $$
На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится $$y=\sqrt{x}$$, снизу — $$y=x^2$$.
$$ S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right)_0^1 =\frac{2}{3}-\frac{1}{3} =\frac{1}{3} $$
Точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x$$:
$$ \sqrt{x}=x $$
$$ x=0,\;1 $$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_0^1(\sqrt{x}-x)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^2}{2}\right)_0^1 =\frac{2}{3}-\frac{1}{2} =\frac{1}{6} $$
Найдём точки пересечения параболы $$y=(x-1)^2$$ и прямой $$y=5+x$$:
$$ (x-1)^2=5+x $$
$$ x^2-2x+1=5+x $$
$$ x^2-3x-4=0 $$
$$ (x-4)(x+1)=0,\quad x=-1,\;4 $$
На отрезке $$[-1;4]$$ сверху прямая $$y=5+x$$.
$$ S=\int_{-1}^{4}\bigl((5+x)-(x-1)^2\bigr)\,dx =\int_{-1}^{4}(-x^2+3x+4)\,dx $$
$$ S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+4x\right)_{-1}^{4} =\frac{125}{6} $$
Площадь фигуры, ограниченной прямой $$y=1$$, осью $$Oy$$ и графиком $$y=\sin x$$ при $$0\le x\le \frac{\pi}{2}$$:
$$ S=\int_0^{\pi/2}(1-\sin x)\,dx $$
$$ S=\left(x+\cos x\right)_0^{\pi/2} =\frac{\pi}{2}-1 $$