Упр.382 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти площадь фигуры, ограниченной:

1. параболой $$y=(x+2)^2$$ и прямой $$y=x+2$$;
2. графиком функции $$y=\sqrt{x}$$ и параболой $$y=x^2$$;
3. графиком функции $$y=\sqrt{x}$$ и прямой $$y=x$$;
4. параболой $$y=(x-1)^2$$ и прямой $$y=5+x$$;
5. прямой $$y=1$$, осью $$Oy$$ и графиком функции $$y=\sin x$$, $$0\leq x\leq\frac{\pi}{2}$$.

1. Найдём точки пересечения параболы $$y=(x+2)^2$$ и прямой $$y=x+2$$:

   $$(x+2)^2=x+2$$

   $$x^2+4x+4=x+2$$

   $$x^2+3x+2=0$$

   $$(x+1)(x+2)=0,\quad x=-2,\,-1$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-2}^{-1}\bigl((x+2)-(x+2)^2\bigr)\,dx$$

   $$S=\int_{-2}^{-1}(-x^2-3x-2)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}-2x\right)_{-2}^{-1}$$

   $$S=\frac{1}{6}$$

2. Точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x^2$$:

   $$\sqrt{x}=x^2$$

   $$x=0,\;1$$

   На отрезке $$[0;1]$$ сверху находится $$y=\sqrt{x}$$, снизу — $$y=x^2$$.

   $$S=\int_0^1(\sqrt{x}-x^2)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^3}{3}\right)_0^1 =\frac{2}{3}-\frac{1}{3} =\frac{1}{3}$$

3. Точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=x$$:

   $$\sqrt{x}=x$$

   $$x=0,\;1$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_0^1(\sqrt{x}-x)\,dx =\left(\frac{2}{3}x^{3/2}-\frac{x^2}{2}\right)_0^1 =\frac{2}{3}-\frac{1}{2} =\frac{1}{6}$$

4. Найдём точки пересечения параболы $$y=(x-1)^2$$ и прямой $$y=5+x$$:

   $$(x-1)^2=5+x$$

   $$x^2-2x+1=5+x$$

   $$x^2-3x-4=0$$

   $$(x-4)(x+1)=0,\quad x=-1,\;4$$

   На отрезке $$[-1;4]$$ сверху прямая $$y=5+x$$.

   $$S=\int_{-1}^{4}\bigl((5+x)-(x-1)^2\bigr)\,dx =\int_{-1}^{4}(-x^2+3x+4)\,dx$$

   $$S=\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{3x^2}{2}+4x\right)_{-1}^{4} =\frac{125}{6}$$

5. Площадь фигуры, ограниченной прямой $$y=1$$, осью $$Oy$$ и графиком $$y=\sin x$$ при $$0\le x\le \frac{\pi}{2}$$:

   $$S=\int_0^{\pi/2}(1-\sin x)\,dx$$

   $$S=\left(x+\cos x\right)_0^{\pi/2} =\frac{\pi}{2}-1$$

Ответ

1) $$\frac{1}{6}$$; 2) $$\frac{1}{3}$$; 3) $$\frac{1}{6}$$; 4) $$\frac{125}{6}$$; 5) $$\frac{\pi}{2}-1$$.