Упр.381 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти площадь фигуры, ограниченной:

1. 1) параболой $$y=6x-x^2$$ и прямой $$y=x+4$$; 2) параболой $$y=4-x^2$$ и прямой $$y=x+2$$.

1. Найдём точки пересечения параболы $$y=6x-x^2$$ и прямой $$y=x+4$$:

   $$6x-x^2=x+4$$

   $$x^2-5x+4=0$$

   $$D=25-16=9,\quad x_1=1,\quad x_2=4.$$

   На отрезке $$[1;4]$$ сверху находится парабола, поэтому

   $$S=\int\limits_{1}^{4}\bigl((6x-x^2)-(x+4)\bigr)\,dx=\int\limits_{1}^{4}(5x-x^2-4)\,dx.$$

   $$S=\left(\frac{5}{2}x^2-\frac{x^3}{3}-4x\right)\Bigg|_{1}^{4} =\left(40-\frac{64}{3}-16\right)-\left(\frac{5}{2}-\frac{1}{3}-4\right) =\frac{9}{2}.$$

2. Найдём точки пересечения параболы $$y=4-x^2$$ и прямой $$y=x+2$$:

   $$4-x^2=x+2$$

   $$x^2+x-2=0$$

   $$D=1+8=9,\quad x_1=-2,\quad x_2=1.$$

   На отрезке $$[-2;1]$$ сверху находится парабола, значит

   $$S=\int\limits_{-2}^{1}\bigl((4-x^2)-(x+2)\bigr)\,dx=\int\limits_{-2}^{1}(2-x^2-x)\,dx.$$

   $$S=\left(2x-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{-2}^{1} =\left(2-\frac{1}{3}-\frac{1}{2}\right)-\left(-4+\frac{8}{3}-2\right) =\frac{9}{2}.$$

Ответ

1) $$\frac{9}{2}$$; 2) $$\frac{9}{2}$$.