Упр.380 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти площадь фигуры, ограниченной:
   
   1) параболой $$y=x^2-4x+3$$ и осью $$Ox$$;
   
   2) графиком функции $$y=\cos x$$, прямыми $$x=\frac{3\pi}{4}$$, $$x=\pi$$ и осью $$Ox$$.

1) Найдём точки пересечения параболы $$y=x^2-4x+3$$ с осью $$Ox$$:

$$x^2-4x+3=0$$

$$D=16-12=4$$

$$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$

$$x_1=1,\quad x_2=3$$

На отрезке $$[1;3]$$ функция не положительна, поэтому площадь равна

$$S=\int\limits_{1}^{3}-(x^2-4x+3)\,dx=\int\limits_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx$$

$$S=\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}$$

$$S=\left(-\frac{27}{3}+18-9\right)-\left(-\frac{1}{3}+2-3\right)=0-\left(-\frac{4}{3}\right)=\frac{4}{3}$$

2) На отрезке $$\left[\frac{3\pi}{4};\pi\right]$$ функция $$y=\cos x$$ не положительна, значит

$$S=\int\limits_{3\pi/4}^{\pi}(-\cos x)\,dx$$

$$S=-\sin x\Bigg|_{3\pi/4}^{\pi}=-\sin\pi+\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Ответ

1) $$\frac{4}{3}$$; 2) $$\frac{\sqrt{2}}{2}$$.