Упр.38 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Выразив синус через косинус по формулам приведения, сравнить числа: 1) $$\cos\frac{\pi}{5}$$ и $$\sin\frac{\pi}{5}$$; 2) $$\sin\frac{\pi}{7}$$ и $$\cos\frac{\pi}{7}$$; 3) $$\cos\frac{3\pi}{8}$$ и $$\sin\frac{5\pi}{8}$$; 4) $$\sin\frac{3\pi}{5}$$ и $$\cos\frac{\pi}{5}$$; 5) $$\cos\frac{\pi}{6}$$ и $$\sin\frac{5\pi}{14}$$; 6) $$\cos\frac{\pi}{8}$$ и $$\sin\frac{3\pi}{10}$$.

1. $$\sin \frac{\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{5}\right)=\cos \frac{3\pi}{10}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{5}=\frac{2\pi}{10}<\frac{3\pi}{10}$$ и на $$[0;\pi]$$ функция $$\cos x$$ убывает, то $$\cos \frac{\pi}{5}>\cos \frac{3\pi}{10}=\sin \frac{\pi}{5}.$$

2. $$\sin \frac{\pi}{7}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{7}\right)=\cos \frac{5\pi}{14}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{7}=\frac{2\pi}{14}<\frac{5\pi}{14}$$, то $$\cos \frac{\pi}{7}>\cos \frac{5\pi}{14}=\sin \frac{\pi}{7}.$$

3. $$\sin \frac{5\pi}{8}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{8}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{8}\right)=\cos \frac{\pi}{8}.$$
   Так как $$\frac{3\pi}{8}>\frac{\pi}{8}$$ и $$\cos x$$ убывает на $$[0;\pi]$$, то
   $$\cos \frac{3\pi}{8}<\cos \frac{\pi}{8}=\sin \frac{5\pi}{8}.$$

4. $$\sin \frac{3\pi}{5}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{5}\right)=\cos\left(-\frac{\pi}{10}\right)=\cos \frac{\pi}{10}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{10}<\frac{\pi}{5}$$, то $$\cos \frac{\pi}{10}>\cos \frac{\pi}{5}.$$
   Значит,
   $$\sin \frac{3\pi}{5}>\cos \frac{\pi}{5}.$$

5. $$\sin \frac{5\pi}{14}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{5\pi}{14}\right)=\cos \frac{\pi}{7}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{6}<\frac{\pi}{7}$$ неверно, а на самом деле $$\frac{\pi}{6}>\frac{\pi}{7}$$, то при убывании косинуса:
   $$\cos \frac{\pi}{6}<\cos \frac{\pi}{7}=\sin \frac{5\pi}{14}.$$

6. $$\sin \frac{3\pi}{10}=\cos\left(\frac{\pi}{2}-\frac{3\pi}{10}\right)=\cos \frac{\pi}{5}.$$
   Так как $$\frac{\pi}{8}<\frac{\pi}{5}$$ и $$\cos x$$ убывает на $$[0;\pi]$$, то $$\cos \frac{\pi}{8}>\cos \frac{\pi}{5}=\sin \frac{3\pi}{10}.$$

Ответ

1) $$\cos \frac{\pi}{5}>\sin \frac{\pi}{5}$$;
2) $$\sin \frac{\pi}{7}<\cos \frac{\pi}{7}$$;
3) $$\cos \frac{3\pi}{8}<\sin \frac{5\pi}{8}$$;
4) $$\sin \frac{3\pi}{5}>\cos \frac{\pi}{5}$$;
5) $$\cos \frac{\pi}{6}<\sin \frac{5\pi}{14}$$;
6) $$\cos \frac{\pi}{8}>\sin \frac{3\pi}{10}$$.