Упр.379 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) параболой у = 9-х2, прямой y = 7-х и осью Ох;
2) параболой у = х (4-х), прямой у = 3 и осью Ох;
3) параболами у = (х — 2)2, y = (х + 2)2, прямой у = 1 и осью Ох;
4) параболами y = (х + 2)2, у = (х- 3)2, осью Ох и прямой, проходящей через точки (-1; 1) и (1; 4);
5) графиком функции у = sinx, прямой у = корень 3/2 и отрезком [0; пи] оси Ох;
6) графиком функции у = cosx, прямой у=1/2 и отрезком [-пи/2;пи/2] оси Ох.

Подробный ответ

$$9-x^2=7-x \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow x=-1,\;2.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Тогда
$$ S=\int_{-3}^{-1}(9-x^2)\,dx+\int_{-1}^{2}(7-x)\,dx+\int_{2}^{3}(9-x^2)\,dx. $$
$$ S=\left(9x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-3}^{-1}+\left(7x-\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{-1}^{2}+\left(9x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{2}^{3} =\frac{63}{2}. $$
$$y=x(4-x)=4x-x^2.$$
Точки пересечения с прямой $$y=3$$:
$$4x-x^2=3 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=1,\;3.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$x=0,\;4.$$
Следовательно,
$$ S=\int_{0}^{1}(4x-x^2)\,dx+\int_{1}^{3}3\,dx+\int_{3}^{4}(4x-x^2)\,dx. $$
$$ S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{1}+3x\Big|_{1}^{3}+\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{3}^{4} =\frac{28}{3}. $$
Фигура симметрична относительно оси $$Oy$$, поэтому
$$ S=2\left(\int_{0}^{1}1\,dx+\int_{1}^{2}(x-2)^2\,dx\right). $$
$$ S=2\left(x\Big|_{0}^{1}+\frac{(x-2)^3}{3}\Big|_{1}^{2}\right) =2\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}. $$
Уравнение прямой через точки $$(-1;1)$$ и $$ (1;4)$$:
$$ k=\frac{4-1}{1-(-1)}=\frac{3}{2}, \qquad y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}. $$
Точки пересечения с параболами:
$$ (x+2)^2=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} \Rightarrow x=-1, $$
$$ (x-3)^2=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} \Rightarrow x=1. $$
Тогда
$$ S=\int_{-2}^{-1}(x+2)^2\,dx+\int_{-1}^{1}\left(\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\right)\,dx+\int_{1}^{3}(x-3)^2\,dx. $$
$$ S=\frac{1}{3}+5+\frac{1}{3}=\frac{17}{3}. $$
$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3},\;\frac{2\pi}{3} \quad \text{на } [0;\pi].$$
Искомая площадь:
$$ S=\int_{0}^{\pi/3}\sin x\,dx+\int_{\pi/3}^{2\pi/3}\frac{\sqrt{3}}{2}\,dx+\int_{2\pi/3}^{\pi}\sin x\,dx. $$
$$ S=\left(-\cos x\right)\Big|_{0}^{\pi/3}+\frac{\sqrt{3}}{2}x\Big|_{\pi/3}^{2\pi/3}+\left(-\cos x\right)\Big|_{2\pi/3}^{\pi} =\frac{6+\pi\sqrt{3}}{6}. $$
$$\cos x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3} \quad \text{на } \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$
Тогда
$$ S=\int_{-\pi/2}^{-\pi/3}\cos x\,dx+\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\frac{1}{2}\,dx+\int_{\pi/3}^{\pi/2}\cos x\,dx. $$
$$ S=\sin x\Big|_{-\pi/2}^{-\pi/3}+\frac{1}{2}x\Big|_{-\pi/3}^{\pi/3}+\sin x\Big|_{\pi/3}^{\pi/2} =2-\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}. $$