Упр.379 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Найти площадь фигуры, ограниченной:

а) параболой $$y=9-x^2$$, прямой $$y=7-x$$ и осью $$Ox$$;
б) параболой $$y=x(4-x)$$, прямой $$y=3$$ и осью $$Ox$$;
в) параболами $$y=(x-2)^2$$, $$y=(x+2)^2$$, прямой $$y=1$$ и осью $$Ox$$;
г) параболами $$y=(x+2)^2$$, $$y=(x-3)^2$$, осью $$Ox$$ и прямой, проходящей через точки $$(-1;1)$$ и $$\left(1;4\right)$$;
д) графиком функции $$y=\sin x$$, прямой $$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$$ и отрезком $$[0;\pi]$$ оси $$Ox$$;
е) графиком функции $$y=\cos x$$, прямой $$y=\frac{1}{2}$$ и отрезком $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$ оси $$Ox$$.

Подробный ответ

$$9-x^2=7-x \Rightarrow x^2-x-2=0 \Rightarrow x=-1,\;2.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$9-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 3.$$
Тогда
$$S=\int_{-3}^{-1}(9-x^2)\,dx+\int_{-1}^{2}(7-x)\,dx+\int_{2}^{3}(9-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(9x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{-3}^{-1}+\left(7x-\frac{x^2}{2}\right)\Big|_{-1}^{2}+\left(9x-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{2}^{3} =\frac{63}{2}.$$
$$y=x(4-x)=4x-x^2.$$
Точки пересечения с прямой $$y=3$$:
$$4x-x^2=3 \Rightarrow x^2-4x+3=0 \Rightarrow x=1,\;3.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$x=0,\;4.$$
Следовательно,
$$S=\int_{0}^{1}(4x-x^2)\,dx+\int_{1}^{3}3\,dx+\int_{3}^{4}(4x-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{0}^{1}+3x\Big|_{1}^{3}+\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Big|_{3}^{4} =\frac{28}{3}.$$
Фигура симметрична относительно оси $$Oy$$, поэтому
$$S=2\left(\int_{0}^{1}1\,dx+\int_{1}^{2}(x-2)^2\,dx\right).$$
$$S=2\left(x\Big|_{0}^{1}+\frac{(x-2)^3}{3}\Big|_{1}^{2}\right) =2\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{8}{3}.$$
Уравнение прямой через точки $$(-1;1)$$ и $$(1;4)$$:
$$k=\frac{4-1}{1-(-1)}=\frac{3}{2}, \qquad y=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}.$$
Точки пересечения с параболами:
$$(x+2)^2=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} \Rightarrow x=-1,$$
$$(x-3)^2=\frac{3}{2}x+\frac{5}{2} \Rightarrow x=1.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{-1}(x+2)^2\,dx+\int_{-1}^{1}\left(\frac{3}{2}x+\frac{5}{2}\right)\,dx+\int_{1}^{3}(x-3)^2\,dx.$$
$$S=\frac{1}{3}+5+\frac{1}{3}=\frac{17}{3}.$$
$$\sin x=\frac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow x=\frac{\pi}{3},\;\frac{2\pi}{3} \quad \text{на } [0;\pi].$$
Искомая площадь:
$$S=\int_{0}^{\pi/3}\sin x\,dx+\int_{\pi/3}^{2\pi/3}\frac{\sqrt{3}}{2}\,dx+\int_{2\pi/3}^{\pi}\sin x\,dx.$$
$$S=\left(-\cos x\right)\Big|_{0}^{\pi/3}+\frac{\sqrt{3}}{2}x\Big|_{\pi/3}^{2\pi/3}+\left(-\cos x\right)\Big|_{2\pi/3}^{\pi} =\frac{6+\pi\sqrt{3}}{6}.$$
$$\cos x=\frac{1}{2} \Rightarrow x=\pm \frac{\pi}{3} \quad \text{на } \left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right].$$
Тогда
$$S=\int_{-\pi/2}^{-\pi/3}\cos x\,dx+\int_{-\pi/3}^{\pi/3}\frac{1}{2}\,dx+\int_{\pi/3}^{\pi/2}\cos x\,dx.$$
$$S=\sin x\Big|_{-\pi/2}^{-\pi/3}+\frac{1}{2}x\Big|_{-\pi/3}^{\pi/3}+\sin x\Big|_{\pi/3}^{\pi/2} =2-\sqrt{3}+\frac{\pi}{3}.$$