Упр.378 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) графиком функции y= sinx, отрезком [0; пи] оси Ох и прямой, проходящей через точки (0; 0) и (пи/2;1);
2) графиками функций y = sin x, у = cosx и отрезком [0; пи/2] оси Ox;
3) графиками функций у = корень х, у = (х- 2)2 и осью Ох;
4) графиками функций у = х3, у = 2х — х2 и осью Ох.

Подробный ответ

Прямая проходит через точки $$\left(0;0\right)$$ и $$\left(\frac{\pi}{2};1\right)$$, значит её уравнение имеет вид $$y=kx$$.
Подставим вторую точку:
$$1=k\cdot \frac{\pi}{2}, \qquad k=\frac{2}{\pi}.$$
Тогда площадь фигуры:
$$ S=\int\limits_{0}^{\pi/2}\frac{2}{\pi}x\,dx+\int\limits_{\pi/2}^{\pi}\sin x\,dx $$
$$ S=\left.\frac{x^2}{\pi}\right|_{0}^{\pi/2}+\left.-\cos x\right|_{\pi/2}^{\pi} =\frac{\pi}{4}+1. $$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ графики $$y=\sin x$$ и $$y=\cos x$$ пересекаются при $$x=\frac{\pi}{4}$$.
Поэтому площадь равна:
$$ S=\int\limits_{0}^{\pi/4}\sin x\,dx+\int\limits_{\pi/4}^{\pi/2}\cos x\,dx $$
$$ S=\left.-\cos x\right|_{0}^{\pi/4}+\left.\sin x\right|_{\pi/4}^{\pi/2} =\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right)+\left(1-\frac{\sqrt2}{2}\right) =2-\sqrt2. $$
Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt{x}$$ и $$y=(x-2)^2$$:
$$ \sqrt{x}=(x-2)^2. $$
Подходит точка $$x=1$$, так как $$\sqrt1=1$$ и $$\left(1-2\right)^2=1$$. Также фигура ограничена осью $$Ox$$, поэтому площадь:
$$ S=\int\limits_{0}^{1}\sqrt{x}\,dx+\int\limits_{1}^{2}(x-2)^2\,dx $$
$$ S=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_{0}^{1}+\left.\frac{(x-2)^3}{3}\right|_{1}^{2} =\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1. $$
Графики $$y=x^3$$ и $$y=2x-x^2$$ пересекаются при $$x=0$$ и $$x=1$$.
На отрезке $$[0;1]$$ сверху расположен график $$y=2x-x^2$$, а на отрезке $$[1;2]$$ — ось $$Ox$$ ограничивает фигуру вместе с графиком $$y=2x-x^2$$.
Площадь:
$$ S=\int\limits_{0}^{1}x^3\,dx+\int\limits_{1}^{2}(2x-x^2)\,dx $$
$$ S=\left.\frac{x^4}{4}\right|_{0}^{1}+\left.\left(x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|_{1}^{2} =\frac14+\left(4-\frac83-1+\frac13\right) =\frac14+\frac{4}{3} =\frac{19}{12}. $$