Упр.377 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Найти площадь фигуры, ограниченной:
- параболой $$y=(x+1)^2$$, прямой $$y=1-x$$ и осью $$Ox$$;
- параболой $$y=4-x^2$$, прямой $$y=x+2$$ и осью $$Ox$$;
- параболой $$y=4x-x^2$$, осью $$Ox$$ и прямой, проходящей через точки $$(4; 0)$$ и $$(1; 3)$$;
- параболой $$y=3x^2$$, осью $$Ox$$ и прямой, проходящей через точки $$(-3; 0)$$ и $$(-1; 3)$$;
- параболами $$y=6x^2$$, $$y=(x-3)(x-4)$$ и осью $$Ox$$;
- параболами $$y=4-x^2$$, $$y=(x-2)^2$$ и осью $$Ox$$.
$$y=(x+1)^2,\quad y=1-x,\quad y=0.$$
Точки пересечения: $$1-x=0 \Rightarrow x=1,$$ $$(x+1)^2=1-x \Rightarrow x^2+3x=0 \Rightarrow x=-3,\;0.$$
Искомая фигура состоит из двух частей:
$$S=\int_{-1}^{0}(x+1)^2\,dx+\int_{0}^{1}(1-x)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\Bigg|_{-1}^{0}+\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{1} =\frac13+\frac12=\frac56.$$
$$y=4-x^2,\quad y=x+2,\quad y=0.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2,$$ $$x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$
Точка пересечения прямой и параболы: $$4-x^2=x+2 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-2,\;1.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{1}(x+2)\,dx+\int_{1}^{2}(4-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}+\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\frac92+\frac53=\frac{37}{6}.$$
Прямая через точки $$(4;0)$$ и $$(1;3)$$ имеет вид
$$y=kx+b,$$
$$\begin{cases} 0=4k+b,\\ 3=k+b \end{cases} \Rightarrow k=-1,\; b=4,$$
то есть $$y=-x+4.$$
Искомая площадь:
$$S=\int_{0}^{1}(4x-x^2)\,dx+\int_{1}^{4}(-x+4)\,dx.$$
$$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}+\left(-\frac{x^2}{2}+4x\right)\Bigg|_{1}^{4} =\frac53+\frac92=\frac{37}{6}.$$
Прямая через точки $$(-3;0)$$ и $$(-1;3)$$:
$$y=kx+b,$$
$$\begin{cases} 0=-3k+b,\\ 3=-k+b \end{cases} \Rightarrow k=\frac32,\; b=\frac92,$$
значит, $$y=\frac32x+\frac92.$$
Тогда
$$S=\int_{-3}^{-1}\left(\frac32x+\frac92\right)\,dx+\int_{-1}^{0}3x^2\,dx.$$
$$S=\left(\frac34x^2+\frac92x\right)\Bigg|_{-3}^{-1}+x^3\Bigg|_{-1}^{0} =4+1=5.$$
$$y=6x^2,\quad y=(x-3)(x-4)=x^2-7x+12,\quad y=0.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$6x^2=0 \Rightarrow x=0,$$ $$x^2-7x+12=0 \Rightarrow x=3,\;4.$$
Точка пересечения парабол: $$6x^2=x^2-7x+12 \Rightarrow 5x^2+7x-12=0 \Rightarrow x=1,\;-\frac{12}{5}.$$
Для искомой фигуры подходит отрезок $$[0,3]$$, поэтому
$$S=\int_{0}^{1}6x^2\,dx+\int_{1}^{3}(x^2-7x+12)\,dx.$$
$$S=2+\left(\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+12x\right)\Bigg|_{1}^{3} =2+\frac{16}{3}=\frac{22}{3}.$$
$$y=4-x^2,\quad y=(x-2)^2,\quad y=0.$$
Точки пересечения парабол: $$4-x^2=(x-2)^2 \Rightarrow x=0,\;2.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{0}(4-x^2)\,dx+\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx.$$
$$S=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{0}+\left(\frac{(x-2)^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} =\frac{16}{3}+\frac{8}{3}=8.$$
Ответ
1) $$\frac56$$; 2) $$\frac{37}{6}$$; 3) $$\frac{37}{6}$$; 4) $$5$$; 5) $$\frac{22}{3}$$; 6) $$8$$.
