Упр.377 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) параболой у = (х + 1)2, прямой у = 1 — х и осью Ох;
2) параболой у = 4 — х2, прямой у = х + 2 и осью Ох;
3) параболой у = 4х — х2, осью Ох и прямой, проходящей через точки (4; 0) и (1; 3).
4) параболой у = 3х2, осью Ох и прямой, проходящей через точки (-3; 0) и (-1; 3);
5) параболами у = 6х2, и = (х — 3)(х — 4) и осью Ох;
6) параболами у = 4 — x2, у = (х — 2)2 и осью Ох.

Подробный ответ

$$y=(x+1)^2,\quad y=1-x,\quad y=0.$$
Точки пересечения: $$1-x=0 \Rightarrow x=1,$$ $$ (x+1)^2=1-x \Rightarrow x^2+3x=0 \Rightarrow x=-3,\;0.$$
Искомая фигура состоит из двух частей:
$$S=\int_{-1}^{0}(x+1)^2\,dx+\int_{0}^{1}(1-x)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x^3}{3}+x^2+x\right)\Bigg|_{-1}^{0}+\left(x-\frac{x^2}{2}\right)\Bigg|_{0}^{1} =\frac13+\frac12=\frac56.$$
$$y=4-x^2,\quad y=x+2,\quad y=0.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$4-x^2=0 \Rightarrow x=\pm 2,$$ $$x+2=0 \Rightarrow x=-2.$$
Точка пересечения прямой и параболы: $$4-x^2=x+2 \Rightarrow x^2+x-2=0 \Rightarrow x=-2,\;1.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{1}(x+2)\,dx+\int_{1}^{2}(4-x^2)\,dx.$$
$$S=\left(\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}+\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{1}^{2} =\frac92+\frac53=\frac{37}{6}.$$
Прямая через точки $$ (4;0) $$ и $$ (1;3) $$ имеет вид
$$y=kx+b,$$
$$ \begin{cases} 0=4k+b,\\ 3=k+b \end{cases} \Rightarrow k=-1,\; b=4, $$
то есть $$y=-x+4.$$
Искомая площадь:
$$S=\int_{0}^{1}(4x-x^2)\,dx+\int_{1}^{4}(-x+4)\,dx.$$
$$S=\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{1}+\left(-\frac{x^2}{2}+4x\right)\Bigg|_{1}^{4} =\frac53+\frac92=\frac{37}{6}.$$
Прямая через точки $$(-3;0)$$ и $$(-1;3)$$:
$$y=kx+b,$$
$$ \begin{cases} 0=-3k+b,\\ 3=-k+b \end{cases} \Rightarrow k=\frac32,\; b=\frac92, $$
значит, $$y=\frac32x+\frac92.$$
Тогда
$$S=\int_{-3}^{-1}\left(\frac32x+\frac92\right)\,dx+\int_{-1}^{0}3x^2\,dx.$$
$$S=\left(\frac34x^2+\frac92x\right)\Bigg|_{-3}^{-1}+x^3\Bigg|_{-1}^{0} =4+1=5.$$
$$y=6x^2,\quad y=(x-3)(x-4)=x^2-7x+12,\quad y=0.$$
Точки пересечения с осью $$Ox$$: $$6x^2=0 \Rightarrow x=0,$$ $$x^2-7x+12=0 \Rightarrow x=3,\;4.$$
Точка пересечения парабол: $$6x^2=x^2-7x+12 \Rightarrow 5x^2+7x-12=0 \Rightarrow x=1,\;-\frac{12}{5}.$$
Для искомой фигуры подходит отрезок $$[0,3]$$, поэтому
$$S=\int_{0}^{1}6x^2\,dx+\int_{1}^{3}(x^2-7x+12)\,dx.$$
$$S=2+\left(\frac{x^3}{3}-\frac{7x^2}{2}+12x\right)\Bigg|_{1}^{3} =2+\frac{16}{3}=\frac{22}{3}.$$
$$y=4-x^2,\quad y=(x-2)^2,\quad y=0.$$
Точки пересечения парабол: $$4-x^2=(x-2)^2 \Rightarrow x=0,\;2.$$
Тогда
$$S=\int_{-2}^{0}(4-x^2)\,dx+\int_{0}^{2}(x-2)^2\,dx.$$
$$S=\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-2}^{0}+\left(\frac{(x-2)^3}{3}\right)\Bigg|_{0}^{2} =\frac{16}{3}+\frac{8}{3}=8.$$