Упр.376 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти площадь фигуры, ограниченной осью \(Ох\) и параболой:

1. а) $$y=1-x^2$$; б) $$y=-x^2+4x-3$$; в) $$y=-x(x+3)$$; г) $$y=(1-x)(x+2)$$; д) $$y=(x+2)(3-x)$$.

1. $$y=1-x^2$$

   Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:

   $$1-x^2=0,\quad x^2=1,\quad x=\pm 1.$$

   Тогда площадь фигуры:

   $$S=\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx =\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =\left(1-\frac13\right)-\left(-1+\frac13\right) =\frac43.$$

2. $$y=-x^2+4x-3$$

   Найдём нули функции:

   $$-x^2+4x-3=0,\quad x^2-4x+3=0,\quad (x-1)(x-3)=0.$$

   Отсюда $$x=1$$ и $$x=3$$.

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}.$$

   $$S=\left(-9+18-9\right)-\left(-\frac13+2-3\right) =0-\left(-\frac43\right) =\frac43.$$

3. $$y=-x(x+3)$$

   Нули функции:

   $$-x(x+3)=0,\quad x=-3,\; x=0.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-3}^{0}(-x^2-3x)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-3}^{0}.$$

   $$S=0-\left(9-\frac{27}{2}\right) =\frac92.$$

4. $$y=(1-x)(x+2)$$

   Нули функции:

   $$(1-x)(x+2)=0,\quad x=-2,\; x=1.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-2}^{1}(1-x)(x+2)\,dx =\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}.$$

   $$S=\left(-\frac13-\frac12+2\right)-\left(\frac83-2-4\right) =\frac76+\frac{10}{3} =\frac92.$$

5. $$y=(x+2)(3-x)$$

   Нули функции:

   $$(x+2)(3-x)=0,\quad x=-2,\; x=3.$$

   Площадь фигуры:

   $$S=\int_{-2}^{3}(x+2)(3-x)\,dx =\int_{-2}^{3}(-x^2+x+6)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+6x\right)\Bigg|_{-2}^{3}.$$

   $$S=\left(-9+\frac92+18\right)-\left(\frac83+2-12\right) =\frac{27}{2}+\frac{22}{3} =\frac{125}{6}.$$

Ответ

1) $$\frac43$$; 2) $$\frac43$$; 3) $$\frac92$$; 4) $$\frac92$$; 5) $$\frac{125}{6}$$.