Упр.376 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) у=1-х2;
2) у = -х2 + 4х-3;
3) у = -х(х + 3);
4) у = (1 — х)(х + 2);
5) у = (х + 2)(3 — х).

Подробный ответ

$$y=1-x^2$$
Найдём точки пересечения с осью $$Ox$$:
$$1-x^2=0,\quad x^2=1,\quad x=\pm 1.$$
Тогда площадь фигуры:
$$ S=\int_{-1}^{1}(1-x^2)\,dx =\left(x-\frac{x^3}{3}\right)\Bigg|_{-1}^{1} =\left(1-\frac13\right)-\left(-1+\frac13\right) =\frac43. $$
$$y=-x^2+4x-3$$
Найдём нули функции:
$$-x^2+4x-3=0,\quad x^2-4x+3=0,\quad (x-1)(x-3)=0.$$
Отсюда $$x=1$$ и $$x=3$$.
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{1}^{3}(-x^2+4x-3)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2-3x\right)\Bigg|_{1}^{3}. $$
$$ S=\left(-9+18-9\right)-\left(-\frac13+2-3\right) =0-\left(-\frac43\right) =\frac43. $$
$$y=-x(x+3)$$
Нули функции:
$$-x(x+3)=0,\quad x=-3,\; x=0.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-3}^{0}(-x^2-3x)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}\right)\Bigg|_{-3}^{0}. $$
$$ S=0-\left(9-\frac{27}{2}\right) =\frac92. $$
$$y=(1-x)(x+2)$$
Нули функции:
$$ (1-x)(x+2)=0,\quad x=-2,\; x=1.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-2}^{1}(1-x)(x+2)\,dx =\int_{-2}^{1}(-x^2-x+2)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\Bigg|_{-2}^{1}. $$
$$ S=\left(-\frac13-\frac12+2\right)-\left(\frac83-2-4\right) =\frac76+\frac{10}{3} =\frac92. $$
$$y=(x+2)(3-x)$$
Нули функции:
$$ (x+2)(3-x)=0,\quad x=-2,\; x=3.$$
Площадь фигуры:
$$ S=\int_{-2}^{3}(x+2)(3-x)\,dx =\int_{-2}^{3}(-x^2+x+6)\,dx =\left(-\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{2}+6x\right)\Bigg|_{-2}^{3}. $$
$$ S=\left(-9+\frac92+18\right)-\left(\frac83+2-12\right) =\frac{27}{2}+\frac{22}{3} =\frac{125}{6}. $$