Упр.373 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) интеграл (2;7) 4/ корень x+2 dx.

1) $$\int\limits_0^5 \frac{6}{\sqrt{3x+1}}\,dx$$

Сделаем замену:

$$3x+1=t,\qquad dt=3\,dx,\qquad dx=\frac{dt}{3}.$$

Тогда

$$\int\limits_0^5 \frac{6}{\sqrt{3x+1}}\,dx=\int\limits_1^{16} \frac{6}{\sqrt{t}}\cdot \frac{dt}{3}=2\int\limits_1^{16} t^{-\frac12}\,dt.$$

$$2\int\limits_1^{16} t^{-\frac12}\,dt=2\cdot 2t^{\frac12}\Big|_1^{16}=4\sqrt{t}\Big|_1^{16}=4(\sqrt{16}-\sqrt{1})=4(4-1)=12.$$

2) $$\int\limits_2^7 \frac{4}{\sqrt{x+2}}\,dx$$

Сделаем замену:

$$x+2=t,\qquad dt=dx.$$

Тогда

$$\int\limits_2^7 \frac{4}{\sqrt{x+2}}\,dx=\int\limits_4^9 \frac{4}{\sqrt{t}}\,dt=4\int\limits_4^9 t^{-\frac12}\,dt.$$

$$4\int\limits_4^9 t^{-\frac12}\,dt=4\cdot 2t^{\frac12}\Big|_4^9=8\sqrt{t}\Big|_4^9=8(\sqrt{9}-\sqrt{4})=8(3-2)=8.$$

Ответ

1) $$12$$; 2) $$8$$.