Упр.366 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Найти площадь фигуры, ограниченной прямой $$x=b$$, осью $$Ox$$ и графиком функции $$y=f(x)$$, если:

$$b=3$$, $$f(x)=x^2$$;
$$b=2$$, $$f(x)=x^3$$;
$$b=4$$, $$f(x)=\sqrt{x}$$;
$$b=8$$, $$f(x)=\sqrt[3]{x}$$;
$$b=2$$, $$f(x)=5x-x^2$$;
$$b=3$$, $$f(x)=x^2+2x$$;
$$b=1$$, $$f(x)=e^{x-1}$$;
$$b=2$$, $$f(x)=1-\frac{1}{x}$$.

Подробный ответ

$$b=3,\quad f(x)=x^2$$
Точка пересечения с осью $$Ox$$: $$x^2=0 \Rightarrow x=0$$.
$$S=\int_0^3 x^2\,dx=\left.\frac{x^3}{3}\right|_0^3=\frac{27}{3}=9.$$
$$b=2,\quad f(x)=x^3$$
$$x^3=0 \Rightarrow x=0$$.
$$S=\int_0^2 x^3\,dx=\left.\frac{x^4}{4}\right|_0^2=\frac{16}{4}=4.$$
$$b=4,\quad f(x)=\sqrt{x}$$
$$\sqrt{x}=0 \Rightarrow x=0$$.
$$S=\int_0^4 \sqrt{x}\,dx=\int_0^4 x^{1/2}\,dx=\left.\frac{2}{3}x^{3/2}\right|_0^4=\frac{2}{3}\cdot 8=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}.$$
$$b=8,\quad f(x)=\sqrt[3]{x}$$
$$\sqrt[3]{x}=0 \Rightarrow x=0$$.
$$S=\int_0^8 x^{1/3}\,dx=\left.\frac{3}{4}x^{4/3}\right|_0^8=\frac{3}{4}\cdot 16=12.$$
$$b=2,\quad f(x)=5x-x^2$$
Нули функции:
$$5x-x^2=0 \Rightarrow x(5-x)=0 \Rightarrow x=0,\; x=5.$$
На отрезке $$[0,2]$$ функция неотрицательна, поэтому
$$S=\int_0^2 (5x-x^2)\,dx=\left.\left(\frac{5x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right)\right|_0^2=10-\frac{8}{3}=\frac{22}{3}=7\frac{1}{3}.$$
$$b=3,\quad f(x)=x^2+2x$$
Нули функции:
$$x^2+2x=0 \Rightarrow x(x+2)=0 \Rightarrow x=-2,\; x=0.$$
На отрезке $$[0,3]$$ функция неотрицательна, значит
$$S=\int_0^3 (x^2+2x)\,dx=\left.\left(\frac{x^3}{3}+x^2\right)\right|_0^3=9+9=18.$$
$$b=1,\quad f(x)=e^x-1$$
$$e^x-1=0 \Rightarrow e^x=1 \Rightarrow x=0$$.
$$S=\int_0^1 (e^x-1)\,dx=\left.(e^x-x)\right|_0^1=(e-1)-(1-0)=e-2.$$
$$b=2,\quad f(x)=1-\frac{1}{x}$$
Нуль функции:
$$1-\frac{1}{x}=0 \Rightarrow x=1.$$
На отрезке $$[1,2]$$ функция неотрицательна, поэтому
$$S=\int_1^2 \left(1-\frac{1}{x}\right)\,dx=\left.(x-\ln|x|)\right|_1^2=(2-\ln 2)-(1-\ln 1)=1-\ln 2.$$