Упр.364 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Для функции $$f(x)$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M$$:
1) $$f(x)=2x+3$$, $$M(1;2)$$;
2) $$f(x)=4x-1$$, $$M(-1;3)$$;
3) $$f(x)=\sqrt{x}+2$$, $$M(2;-3)$$;
4) $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+3}}$$, $$M(-2;-1)$$;
5) $$f(x)=\sin 2x$$, $$M\left(\frac{\pi}{2};5\right)$$;
6) $$f(x)=\cos 3x$$, $$M(0;0)$$;
7) $$f(x)=\frac{1}{x+3}$$, $$M(-2;4)$$;
8) $$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$$, $$M(-2;2)$$.
$$f(x)=2x+3,\quad M(1;2)$$
Первообразная:
$$F(x)=\int (2x+3)\,dx=x^2+3x+C$$
Подставим точку $$M(1;2)$$:
$$2=1^2+3\cdot 1+C$$
$$C=-2$$
$$F(x)=x^2+3x-2$$
$$f(x)=4x-1,\quad M(-1;3)$$
$$F(x)=\int (4x-1)\,dx=2x^2-x+C$$
$$3=2\cdot(-1)^2-(-1)+C$$
$$C=0$$
$$F(x)=2x^2-x$$
$$f(x)=\sqrt{x+2},\quad M(2;-3)$$
$$F(x)=\int (x+2)^{1/2}\,dx=\frac{2}{3}(x+2)^{3/2}+C$$
$$-3=\frac{2}{3}(2+2)^{3/2}+C$$
$$-3=\frac{2}{3}\cdot 8+C$$
$$C=-\frac{25}{3}$$
$$F(x)=\frac{2}{3}(x+2)^{3/2}-\frac{25}{3}$$
$$f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+3}},\quad M(-2;-1)$$
$$F(x)=\int (x+3)^{-1/2}\,dx=2\sqrt{x+3}+C$$
$$-1=2\sqrt{-2+3}+C$$
$$-1=2+C$$
$$C=-3$$
$$F(x)=2\sqrt{x+3}-3$$
$$f(x)=\sin 2x,\quad M\left(\frac{\pi}{2};5\right)$$
$$F(x)=\int \sin 2x\,dx=-\frac{1}{2}\cos 2x+C$$
$$5=-\frac{1}{2}\cos \pi +C$$
$$5=\frac{1}{2}+C$$
$$C=\frac{9}{2}$$
$$F(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{9}{2}$$
$$f(x)=\cos 3x,\quad M(0;0)$$
$$F(x)=\int \cos 3x\,dx=\frac{1}{3}\sin 3x+C$$
$$0=\frac{1}{3}\sin 0+C$$
$$C=0$$
$$F(x)=\frac{1}{3}\sin 3x$$
$$f(x)=\frac{1}{x+3},\quad M(-2;4)$$
$$F(x)=\int \frac{1}{x+3}\,dx=\ln|x+3|+C$$
$$4=\ln|-2+3|+C$$
$$4=C$$
$$F(x)=\ln|x+3|+4$$
$$f(x)=\frac{1}{(x+1)^2},\quad M(-2;2)$$
$$F(x)=\int (x+1)^{-2}\,dx=-\frac{1}{x+1}+C$$
$$2=-\frac{1}{-2+1}+C$$
$$2=1+C$$
$$C=1$$
$$F(x)=-\frac{1}{x+1}+1$$
Ответ
- $$F(x)=x^2+3x-2$$
- $$F(x)=2x^2-x$$
- $$F(x)=\frac{2}{3}(x+2)^{3/2}-\frac{25}{3}$$
- $$F(x)=2\sqrt{x+3}-3$$
- $$F(x)=-\frac{1}{2}\cos 2x+\frac{9}{2}$$
- $$F(x)=\frac{1}{3}\sin 3x$$
- $$F(x)=\ln|x+3|+4$$
- $$F(x)=-\frac{1}{x+1}+1$$
