Упр.36 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все принадлежащие отрезку $$[0; 3\pi]$$ решения неравенства:
   1) $$\cos x \geq \frac{1}{2}$$;
   2) $$\cos x \geq -\frac{1}{2}$$;
   3) $$\cos x < -\frac{\sqrt{2}}{2}$$;
   4) $$\cos x < \frac{\sqrt{3}}{2}$$.

1. $$\cos x \ge \frac12$$

   Значения косинуса не меньше $$\frac12$$ на промежутках

   $$-\frac{\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$ получаем:

   $$0 \le x \le \frac{\pi}{3},\quad \frac{5\pi}{3} \le x \le \frac{7\pi}{3}.$$

2. $$\cos x \ge -\frac12$$

   Тогда

   $$-\frac{2\pi}{3}+2\pi n \le x \le \frac{2\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$:

   $$0 \le x \le \frac{2\pi}{3},\quad \frac{4\pi}{3} \le x \le \frac{8\pi}{3}.$$

3. $$\cos x < -\frac{\sqrt2}{2}$$

   Это выполняется при

   $$\frac{3\pi}{4}+2\pi n < x < \frac{5\pi}{4}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$:

   $$\frac{3\pi}{4} < x < \frac{5\pi}{4},\quad \frac{11\pi}{4} < x \le 3\pi.$$

4. $$\cos x < \frac{\sqrt3}{2}$$

   Тогда

   $$\frac{\pi}{6}+2\pi n < x < \frac{11\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   На отрезке $$[0;3\pi]$$:

   $$\frac{\pi}{6} < x < \frac{11\pi}{6},\quad \frac{13\pi}{6} < x \le 3\pi.$$

Ответ

1) $$x\in\left[0;\frac{\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{5\pi}{3};\frac{7\pi}{3}\right]$$;
2) $$x\in\left[0;\frac{2\pi}{3}\right]\cup\left[\frac{4\pi}{3};\frac{8\pi}{3}\right]$$;
3) $$x\in\left(\frac{3\pi}{4};\frac{5\pi}{4}\right)\cup\left(\frac{11\pi}{4};3\pi\right]$$;
4) $$x\in\left(\frac{\pi}{6};\frac{11\pi}{6}\right)\cup\left(\frac{13\pi}{6};3\pi\right]$$.