Упр.355 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Для функции $$f(x)$$ найти первообразную, график которой проходит через точку $$M$$:

1. $$f(x)=x^2$$, $$M(1; 2)$$;
2. $$f(x)=x$$, $$M(-1; 3)$$;
3. $$f(x)=\frac{1}{x}$$, $$M(1; -1)$$;
4. $$f(x)=\sqrt{x}$$, $$M(9; 10)$$.

1. $$f(x)=x^2,\quad M(1;2)$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\frac{x^3}{3}+C$$

   Подставим точку $$M(1;2)$$:

   $$2=\frac{1^3}{3}+C$$

   $$C=\frac{5}{3}$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{3}$$

2. $$f(x)=x,\quad M(-1;3)$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\frac{x^2}{2}+C$$

   Подставим точку $$M(-1;3)$$:

   $$3=\frac{(-1)^2}{2}+C$$

   $$C=\frac{5}{2}$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}$$

3. $$f(x)=\frac{1}{x},\quad M(1;-1)$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\ln|x|+C$$

   Подставим точку $$M(1;-1)$$:

   $$-1=\ln|1|+C$$

   $$C=-1$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\ln|x|-1$$

4. $$f(x)=\sqrt{x},\quad M(9;10)$$

   Перепишем функцию в степенном виде:

   $$f(x)=x^{1/2}$$

   Первообразная:

   $$F(x)=\frac{x^{3/2}}{3/2}+C=\frac{2}{3}x^{3/2}+C$$

   Подставим точку $$M(9;10)$$:

   $$10=\frac{2}{3}\cdot 9^{3/2}+C$$

   $$9^{3/2}=3^3=27$$

   $$10=\frac{2}{3}\cdot 27+C=18+C$$

   $$C=-8$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-8$$

Ответ

1) $$F(x)=\frac{x^3}{3}+\frac{5}{3}$$; 2) $$F(x)=\frac{x^2}{2}+\frac{5}{2}$$; 3) $$F(x)=\ln|x|-1$$; 4) $$F(x)=\frac{2}{3}x^{3/2}-8$$.