Упр.354 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все первообразные для функции:

1. $$x^6$$;
2. $$x^5$$;
3. $$\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$$;
4. $$\sqrt[4]{x}$$;
5. $$x^{\frac{2}{3}}$$;
6. $$x^{\frac{3}{4}}$$.

1. $$f(x)=x^6.$$

   По формуле $$\int x^n\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$$ при $$n\ne -1$$ получаем:

   $$F(x)=\frac{x^7}{7}+C.$$

2. $$f(x)=x^5.$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{x^6}{6}+C.$$

3. $$f(x)=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}=x^{-\frac13}.$$

   Находим первообразную:

   $$F(x)=\frac{x^{-\frac13+1}}{-\frac13+1}+C=\frac{x^{\frac23}}{\frac23}+C=\frac{3}{2}x^{\frac23}+C=\frac{3\sqrt[3]{x^2}}{2}+C.$$

4. $$f(x)=\sqrt[4]{x}=x^{\frac14}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{x^{\frac14+1}}{\frac14+1}+C=\frac{x^{\frac54}}{\frac54}+C=\frac{4}{5}x^{\frac54}+C=\frac{4\sqrt[4]{x^5}}{5}+C.$$

5. $$f(x)=x^{\frac23}.$$

   Следовательно,

   $$F(x)=\frac{x^{\frac23+1}}{\frac23+1}+C=\frac{x^{\frac53}}{\frac53}+C=\frac{3}{5}x^{\frac53}+C.$$

6. $$f(x)=x^{\frac34}.$$

   Тогда

   $$F(x)=\frac{x^{\frac34+1}}{\frac34+1}+C=\frac{x^{\frac74}}{\frac74}+C=\frac{4}{7}x^{\frac74}+C.$$

Ответ

1) $$F(x)=\frac{x^7}{7}+C$$;
2) $$F(x)=\frac{x^6}{6}+C$$;
3) $$F(x)=\frac{3}{2}x^{\frac23}+C$$;
4) $$F(x)=\frac{4}{5}x^{\frac54}+C$$;
5) $$F(x)=\frac{3}{5}x^{\frac53}+C$$;
6) $$F(x)=\frac{4}{7}x^{\frac74}+C$$.