Упр.353 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Показать, что функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$ при $$x>0$$:
1) $$F(x)=\frac{3}{x},\quad f(x)=-\frac{3}{x^2}$$;
2) $$F(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+4,\quad f(x)=-\frac{1}{2x^{3/2}}$$;
3) $$F(x)=2-x^{3/2},\quad f(x)=-\frac{3}{2}\sqrt{x}$$;
4) $$F(x)=\sqrt{2x},\quad f(x)=\frac{1}{\sqrt{2x}}$$.
$$F(x)=\frac{3}{x}$$
Найдём производную:
$$F'(x)=3\left(-\frac{1}{x^2}\right)=-\frac{3}{x^2}=f(x).$$
$$F(x)=\frac{1}{\sqrt{x}}+4$$
Представим функцию в степенном виде:
$$F(x)=x^{-\frac12}+4.$$
Тогда
$$F'(x)=-\frac12 x^{-\frac32}=-\frac{1}{2x^{\frac32}}=f(x).$$
$$F(x)=2-x^{\frac32}$$
Тогда
$$F'(x)=0-\frac32 x^{\frac12}=-\frac32\sqrt{x}=f(x).$$
$$F(x)=\sqrt{2x}$$
Найдём производную:
$$F'(x)=\frac{1}{2\sqrt{2x}}\cdot 2=\frac{1}{\sqrt{2x}}=f(x).$$
Ответ
Во всех четырёх случаях $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$ при $$x>0$$.
