Упр.352 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Показать, что функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой:

1. $$F(x)=x^4,\quad f(x)=4x^3$$;
2. $$F(x)=1-e^{-x},\quad f(x)=e^{-x}$$;
3. $$F(x)=\frac{x^5}{5}+1,\quad f(x)=x^4$$;
4. $$F(x)=3e^{x/3},\quad f(x)=e^{x/3}$$;
5. $$F(x)=2+\sin 4x,\quad f(x)=4\cos 4x$$;
6. $$F(x)=\cos 3x-5,\quad f(x)=-3\sin 3x$$.

1. Найдём производную функции $$F(x)=x^4$$:

   $$F'(x)=4x^3=f(x).$$

   Значит, $$F(x)$$ — первообразная для $$f(x)$$.

2. Для $$F(x)=1-e^{-x}$$ имеем:

   $$F'(x)=0-(-e^{-x})=e^{-x}=f(x).$$

3. Для $$F(x)=\frac{x^5}{5}+1$$:

   $$F'(x)=\frac{1}{5}\cdot 5x^4+0=x^4=f(x).$$

4. Для $$F(x)=3e^{x/3}$$:

   $$F'(x)=3\cdot \frac{1}{3}e^{x/3}=e^{x/3}=f(x).$$

5. Для $$F(x)=2+\sin 4x$$:

   $$F'(x)=0+4\cos 4x=4\cos 4x=f(x).$$

6. Для $$F(x)=\cos 3x-5$$:

   $$F'(x)=-3\sin 3x-0=-3\sin 3x=f(x).$$

Ответ

Во всех пунктах $$F'(x)=f(x)$$, значит, функция $$F(x)$$ является первообразной для функции $$f(x)$$ на всей числовой прямой.