Упр.351 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 351. Два автомобиля едут с одинаковыми скоростями v по пересекающимся под прямым углом дорогами. Каким будет наименьшее расстояние между автомобилями, если в начале движения они находились на расстояниях а и b соответственно от места пересечения дорог?

Пусть через $$t$$ обозначено время движения. Тогда расстояния автомобилей до перекрёстка равны $$a+vt$$ и $$b+vt$$, если считать, что они движутся к месту пересечения дорог.

Расстояние между автомобилями:

$$S(t)=\sqrt{(a+vt)^2+(b+vt)^2}.$$

Найдём минимум функции $$S(t)$$. Удобнее рассмотреть квадрат расстояния:

$$ S^2(t)=(a+vt)^2+(b+vt)^2 = a^2+b^2+2avt+2bvt+2v^2t^2. $$

Тогда

$$ \frac{d}{dt}S^2(t)=2av+2bv+4v^2t. $$

В точке минимума производная равна нулю:

$$ 2av+2bv+4v^2t=0, $$

откуда

$$ t=-\frac{a+b}{2v}. $$

Подставим это значение в формулу для расстояния:

$$ S_{\min}=\sqrt{\left(a-v\frac{a+b}{2v}\right)^2+\left(b-v\frac{a+b}{2v}\right)^2}. $$

Получаем

$$ S_{\min}=\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2} =\sqrt{2\cdot \frac{(a-b)^2}{4}} =\frac{\sqrt{2}}{2}|a-b|. $$

Ответ

$$\frac{\sqrt{2}}{2}|a-b|$$