Упр.351 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Два автомобиля едут с одинаковыми скоростями $$v$$ по пересекающимся под прямым углом дорогам. Каким будет наименьшее расстояние между автомобилями, если в начале движения они находились на расстояниях $$a$$ и $$b$$ соответственно от места пересечения дорог?
Пусть через $$t$$ обозначено время движения. Тогда расстояния автомобилей до перекрёстка равны $$a+vt$$ и $$b+vt$$, если считать, что они движутся к месту пересечения дорог.
Расстояние между автомобилями:
$$S(t)=\sqrt{(a+vt)^2+(b+vt)^2}.$$
Найдём минимум функции $$S(t)$$. Удобнее рассмотреть квадрат расстояния:
$$S^2(t)=(a+vt)^2+(b+vt)^2 = a^2+b^2+2avt+2bvt+2v^2t^2.$$
Тогда
$$\frac{d}{dt}S^2(t)=2av+2bv+4v^2t.$$
В точке минимума производная равна нулю:
$$2av+2bv+4v^2t=0,$$
откуда
$$t=-\frac{a+b}{2v}.$$
Подставим это значение в формулу для расстояния:
$$S_{\min}=\sqrt{\left(a-v\frac{a+b}{2v}\right)^2+\left(b-v\frac{a+b}{2v}\right)^2}.$$
Получаем
$$S_{\min}=\sqrt{\left(\frac{a-b}{2}\right)^2+\left(\frac{b-a}{2}\right)^2} =\sqrt{2\cdot \frac{(a-b)^2}{4}} =\frac{\sqrt{2}}{2}|a-b|.$$
Ответ
$$\frac{\sqrt{2}}{2}|a-b|$$
