Упр.350 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 350.] Прочность балки на изгиб пропорциональна ширине и квадрату высоты балки. Для изготовления из цилиндрического бревна балки прямоугольного сечения максимальной прочности торец бревна размечают так, как показано на рисунке 85: диаметр АС делят точками М и N на три равные части, MB перпендикулярно АС и ND перпендикулярно AC. Верна ли такая разметка для изготовления максимально прочной балки?

Обозначим:

$$AB=x,\quad BC=y,\quad AC=z.$$

Тогда по теореме Пифагора

$$x^2+y^2=z^2,\qquad y^2=z^2-x^2.$$

Прочность балки пропорциональна ширине и квадрату высоты, значит

$$T(x)=xy^2=x(z^2-x^2)=xz^2-x^3.$$

Найдём максимум функции:

$$T'(x)=z^2-3x^2.$$

При максимуме производная равна нулю:

$$z^2-3x^2=0,$$

откуда

$$x=\frac{z}{\sqrt{3}}.$$

Тогда

$$y^2=z^2-\frac{z^2}{3}=\frac{2z^2}{3},$$

то есть

$$y=\frac{z\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$$

Проверим, даёт ли разметка на три равные части такие размеры. Пусть

$$AC=R,\quad AM=\frac{R}{3},\quad MC=\frac{2R}{3}.$$

Из прямоугольного треугольника $AMB$:

$$BM=\sqrt{AM\cdot MC}=\sqrt{\frac{R}{3}\cdot\frac{2R}{3}}=\frac{R\sqrt{2}}{3}.$$

Тогда

$$AB=\sqrt{AM^2+BM^2}=\sqrt{\frac{R^2}{9}+\frac{2R^2}{9}}=\frac{R}{\sqrt{3}},$$

$$BC=\sqrt{MC^2+BM^2}=\sqrt{\frac{4R^2}{9}+\frac{2R^2}{9}}=\frac{R\sqrt{6}}{3}=\frac{R\sqrt{2}}{\sqrt{3}}.$$

Полученные значения совпадают с найденными для максимума прочности.

Ответ

Да, разметка верна.