Упр.349 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 349. Полевой стан расположен в 9 км от ближайшей к нему точки шоссе. От этой точки до посёлка 15 км. Велосипедист должен из посёлка доехать до полевого стана. На каком расстоянии от посёлка после движения по шоссе ему следует свернуть в поле и ехать по прямой до полевого стана, чтобы время в пути было наименьшим? Известно, что скорость велосипедиста по шоссе 10 км/ч, а по полю — 8 км/ч.

Подробный ответ

Пусть велосипедист свернёт с шоссе в поле на расстоянии $$x$$ км от посёлка. Тогда по шоссе он проедет $$15-x$$ км, а по полю — расстояние

$$l=\sqrt{x^2+9^2}=\sqrt{x^2+81}.$$

Общее время движения:

$$T(x)=\frac{15-x}{10}+\frac{\sqrt{x^2+81}}{8}.$$

Найдём производную:

$$T'(x)=-\frac{1}{10}+\frac{x}{8\sqrt{x^2+81}}.$$

Для минимума приравняем производную к нулю:

$$-\frac{1}{10}+\frac{x}{8\sqrt{x^2+81}}=0,$$
$$\frac{x}{8\sqrt{x^2+81}}=\frac{1}{10},$$
$$10x=8\sqrt{x^2+81},$$
$$25x^2=16(x^2+81),$$
$$25x^2=16x^2+1296,$$
$$9x^2=1296,$$
$$x^2=144,$$
$$x=12.$$

Тогда расстояние от посёлка до точки поворота:

$$15-12=3.$$

Следовательно, велосипедисту нужно свернуть в поле на расстоянии 3 км от посёлка.