Упр.348 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Колягин, Ткачёва, Фёдорова
11 класс
Класс
11
Предмет
Алгебра
Автор
Колягин, Ткачёва, Фёдорова
Упр.348 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Задача
- Ещё И. Ньютон обнаружил, что скорость охлаждения тела примерно пропорциональна разнице температур между нагретым телом и окружающей средой. Если температура окружающей среды $$T_s$$ не меняется, то температура помещённого в эту среду тела $$T$$ в зависимости от времени $$t$$ меняется по закону $$T(t)=T_s+(T_0-T_s)e^{-kt}$$, где $$T_0$$ — начальная температура тела, $$k$$ — коэффициент, характеризующий свойства теплопроводности, геометрию и другие свойства тела. Допустим, что в начальный момент времени $$t=0$$ температура тела была равна $$200^\circ\mathrm{C}$$, а скорость остывания — 3 градуса за секунду. Температуру окружающей среды поддерживали равной $$20^\circ\mathrm{C}$$. Найти температуру тела через $$2\ \text{мин}$$ после начала остывания.
Подробный ответ
По условию температура тела меняется по закону
$$T(t)=T_s+(T_0-T_s)e^{-kt}.$$
Известно, что $$T_0=200^\circ\text{C}, \quad T_s=20^\circ\text{C}, \quad T'(0)=-3.$$
Найдём коэффициент $$k$$. Производная:
$$T'(t)=-(T_0-T_s)ke^{-kt}.$$
Подставим $$t=0$$:
$$T'(0)=-(200-20)k=-3,$$
откуда
$$-180k=-3,\qquad k=\frac{1}{60}.$$
Теперь найдём температуру через $$2$$ минуты, то есть через $$120$$ секунд:
$$T(120)=20+(200-20)e^{-\frac{1}{60}\cdot120}$$
$$T(120)=20+180e^{-2}.$$
Так как $$e^{-2}\approx 0.1353,$$ получаем
$$T(120)\approx 20+180\cdot 0.1353\approx 44^\circ\text{C}.$$
Ответ
$$\approx 44^\circ\text{C}$$
Другие учебники
Другие предметы