Упр.348 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 348. Ещё И. Ньютон обнаружил, что скорость охлаждения тела примерно пропорциональна разнице температур между нагретым телом и окружающей средой. Если температура окружающей среды Ts не меняется, то температура помещённого в эту среду тела Т в зависимости от времени t меняется по закону T(t) = Ts + (T0-Ts)e-kt, где Т0 — начальная температура тела, k — коэффициент, характеризующий свойства теплопроводности, геометрию и другие свойства тела. Допустим, что в начальный момент времени t = 0 температура тела была равна 200 °С, а скорость остывания — 3 градуса за секунду. Температуру окружающей среды поддерживали равной 20°С. Найти температуру тела через 2 мин после начала остывания. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 348 118

Подробный ответ

По условию температура тела меняется по закону

$$T(t)=T_s+(T_0-T_s)e^{-kt}.$$

Известно, что $$T_0=200^\circ\text{C}, \quad T_s=20^\circ\text{C}, \quad T'(0)=-3.$$

Найдём коэффициент $$k$$. Производная:

$$T'(t)=-(T_0-T_s)ke^{-kt}.$$

Подставим $$t=0$$:

$$T'(0)=-(200-20)k=-3,$$

откуда

$$-180k=-3,\qquad k=\frac{1}{60}.$$

Теперь найдём температуру через $$2$$ минуты, то есть через $$120$$ секунд:

$$T(120)=20+(200-20)e^{-\frac{1}{60}\cdot120}$$