Упр.347 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 347. Груз, лежащий на горизонтальной плоскости, нужно сдвинуть с места силой, приложенной к этому грузу (рис. 84). Определить угол, образуемый этой силой с плоскостью, при котором сила будет наименьшей, если коэффициент трения груза k.

По второму закону Ньютона для силы, сдвигающей груз, получаем:

$$F\cos \alpha = k(mg — F\sin \alpha).$$

Отсюда

$$F\cos \alpha = kmg — kF\sin \alpha,$$

$$F(\cos \alpha + k\sin \alpha)=kmg,$$

$$F(\alpha)=\frac{kmg}{\cos \alpha + k\sin \alpha}.$$

Найдём, при каком угле $\alpha$ эта сила минимальна. Для этого исследуем знаменатель:

$$f(\alpha)=\cos \alpha + k\sin \alpha.$$

Тогда

$$F'(\alpha)=\frac{kmg(\sin \alpha-k\cos \alpha)}{(\cos \alpha+k\sin \alpha)^2}.$$

Критическая точка определяется из уравнения

$$\sin \alpha-k\cos \alpha=0,$$

$$\tg \alpha = k.$$

Следовательно,

$$\alpha=\arctg k.$$

При этом сила $F$ достигает наименьшего значения.

Ответ

$$\alpha=\arctg k.$$