Упр.346 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) f(x) = x + корень x2-1;
2) f(x) = x- корень x2-2x;
3) f(x) = x2*e-2x;
4) f(x) = x3 * e-x;
5) f(x) = (x-1)3/x2;
6) f(x) = x4/(x+1)3.
1) $$f(x)=x+\sqrt{x^2-1}$$
Область определения: $$x^2-1\ge 0$$, значит $$x\le -1$$ или $$x\ge 1$$.
Найдём производную:
$$f'(x)=1+\frac{x}{\sqrt{x^2-1}}=\frac{\sqrt{x^2-1}+x}{\sqrt{x^2-1}}.$$
Так как знаменатель положителен на области определения, знак $$f'(x)$$ определяется числителем. При $$x\ge 1$$ имеем $$f'(x)>0$$, а при $$x\le -1$$ имеем $$f'(x)<0$$. Значит, функция убывает на $$(-\infty,-1]$$ и возрастает на $$[1,+\infty)$$.
Асимптоты:
$$\lim_{x\to-\infty}\bigl(x+\sqrt{x^2-1}\bigr)=0,$$
поэтому $$y=0$$ — горизонтальная асимптота слева.
При $$x\to+\infty$$:
$$f(x)=x+\sqrt{x^2-1}\sim 2x,$$
значит наклонная асимптота: $$y=2x.$$
Опорные точки: $$f(-1)=-1,$$ $$f(1)=1.$$
2) $$f(x)=x-\sqrt{x^2-2x}$$
Область определения: $$x^2-2x\ge 0$$, то есть $$x(x-2)\ge 0$$, откуда $$x\le 0$$ или $$x\ge 2$$.
Производная:
$$f'(x)=1-\frac{2x-2}{2\sqrt{x^2-2x}}=\frac{\sqrt{x^2-2x}-x+1}{\sqrt{x^2-2x}}.$$
На области определения $$f'(x)\ge 0$$, значит функция возрастает на $$(-\infty,0]$$ и $$[2,+\infty)$$.
Асимптоты:
$$\lim_{x\to+\infty}\bigl(x-\sqrt{x^2-2x}\bigr)=1,$$
значит $$y=1$$ — горизонтальная асимптота справа.
При $$x\to-\infty$$:
$$f(x)\sim 2x-1,$$
поэтому наклонная асимптота: $$y=2x-1.$$
Опорные точки: $$f(0)=0,$$ $$f(2)=2.$$
3) $$f(x)=x^2e^{-x}$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$
Производная:
$$f'(x)=2xe^{-x}-x^2e^{-x}=e^{-x}(2x-x^2)=e^{-x}x(2-x).$$
Так как $$e^{-x}>0$$, то $$f'(x)\ge 0$$ при $$0\le x\le 2$$. Следовательно, функция возрастает на $$[0,2]$$.
Выпуклость вниз:
$$f»(x)=e^{-x}(x^2-4x+2).$$
$$x^2-4x+2=0 \Rightarrow x=2\pm\sqrt2.$$
Значит, функция выпукла вниз на $$(-\infty,2-\sqrt2]$$ и $$[2+\sqrt2,+\infty)$$.
Асимптота:
$$\lim_{x\to+\infty}x^2e^{-x}=0,$$
поэтому $$y=0.$$
Опорные точки: $$f(-1)=e,$$ $$f(0)=0,$$ $$f(2)=\frac{4}{e^2}.$$
4) $$f(x)=x^3e^{-x}$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}.$$
Производная:
$$f'(x)=3x^2e^{-x}-x^3e^{-x}=e^{-x}x^2(3-x).$$
Следовательно, функция возрастает при $$x\le 3$$, то есть на $$(-\infty,3]$$.
Выпуклость вниз:
$$f»(x)=e^{-x}(x^3-6x^2+6x)=e^{-x}x(x^2-6x+6).$$
$$x^2-6x+6=0 \Rightarrow x=3\pm\sqrt3.$$
Значит, функция выпукла вниз на $$[0,3-\sqrt3]$$ и $$[3+\sqrt3,+\infty)$$.
Асимптота:
$$\lim_{x\to+\infty}x^3e^{-x}=0,$$
поэтому $$y=0.$$
Опорные точки: $$f(-1)=-e,$$ $$f(0)=0,$$ $$f(3)=\frac{27}{e^3}.$$
5) $$f(x)=\frac{(x-1)^3}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{(x-1)^2(x^2+2x)}{x^4}=\frac{(x-1)^2(x+2)}{x^3}.$$
Отсюда функция возрастает на $$(-\infty,-2]$$ и $$[0,+\infty)$$, а также в точке $$x=1$$ производная равна нулю.
Выпуклость вниз:
$$f»(x)=\frac{6(x-1)}{x^5}.$$
Значит, функция выпукла вниз при $$x\ge 1.$$
Асимптоты:
$$\frac{(x-1)^3}{x^2}=x-3+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2},$$
поэтому наклонная асимптота: $$y=x-3.$$
Опорные точки: $$f(-2)=-\frac{27}{4},$$ $$f(-1)=-8,$$ $$f(1)=0.$$
6) $$f(x)=\frac{x^4}{(x+1)^3}$$
Область определения: $$x\ne -1.$$
Производная:
$$f'(x)=\frac{x^4+4x^3}{(x+1)^4}=\frac{x^3(x+4)}{(x+1)^4}.$$
Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-4]$$ и $$[0,+\infty)$$.
Выпуклость вниз:
$$f»(x)=\frac{12x^2}{(x+1)^5}.$$
Так как числитель неотрицателен, то при $$x>-1$$ имеем $$f»(x)\ge 0$$, а при $$x<-1$$ — $$f»(x)<0$$.
Асимптоты:
$$\frac{x^4}{(x+1)^3}=x-3+\frac{6x^2+8x+3}{(x+1)^3},$$
поэтому наклонная асимптота: $$y=x-3.$$
Вертикальная асимптота: $$x=-1.$$
Опорные точки: $$f(-4)=-\frac{256}{27},$$ $$f(-2)=-16,$$ $$f(0)=0.$$
Ответ
1) $$D=[-1,-1]\cup[1,+\infty)$$, асимптоты: $$y=0$$ и $$y=2x$$;
2) $$D=(-\infty,0]\cup[2,+\infty)$$, асимптоты: $$y=1$$ и $$y=2x-1$$;
3) $$D=\mathbb{R}$$, асимптота: $$y=0$$;
4) $$D=\mathbb{R}$$, асимптота: $$y=0$$;
5) $$D=\mathbb{R}\setminus\{0\}$$, асимптота: $$y=x-3$$;
6) $$D=\mathbb{R}\setminus\{-1\}$$, асимптоты: $$x=-1$$ и $$y=x-3$$.
