Упр.345 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Найти точки экстремума функции $$y=\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}$$.

Подробный ответ

Найдём производную функции

$$y=\frac{x^2-3x+2}{x^2+3x+2}.$$

По формуле производной частного:

$$y’=\frac{(2x-3)(x^2+3x+2)-(x^2-3x+2)(2x+3)}{(x^2+3x+2)^2}.$$

Раскроем скобки в числителе:

$$(2x-3)(x^2+3x+2)=2x^3+3x^2-5x-6,$$

$$(x^2-3x+2)(2x+3)=2x^3-3x^2-5x+6.$$

Тогда

$$y’=\frac{2x^3+3x^2-5x-6-(2x^3-3x^2-5x+6)}{(x^2+3x+2)^2} =\frac{6x^2-12}{(x^2+3x+2)^2} =\frac{6(x^2-2)}{(x^2+3x+2)^2}.$$

Критические точки находим из уравнения $$y’=0$$:

$$6(x^2-2)=0 \;\Rightarrow\; x^2=2 \;\Rightarrow\; x=\pm\sqrt2.$$

Знаменатель $$\left(x^2+3x+2\right)^2$$ всегда положителен на области определения, поэтому знак производной определяется выражением $$x^2-2$$:

$$y’>0 \text{ при } x<-\sqrt2 \text{ и } x>\sqrt2,$$

$$y'<0 \text{ при } -\sqrt2<x<\sqrt2.$$

Следовательно, в точке $$x=-\sqrt2$$ функция меняет знак производной с плюса на минус, значит это точка максимума, а в точке $$x=\sqrt2$$ — с минуса на плюс, значит это точка минимума.

Найдём значения функции в этих точках:

$$y(-\sqrt2)=\frac{2+3\sqrt2+2}{2-3\sqrt2+2} =\frac{4+3\sqrt2}{4-3\sqrt2},$$

$$y(\sqrt2)=\frac{2-3\sqrt2+2}{2+3\sqrt2+2} =\frac{4-3\sqrt2}{4+3\sqrt2}.$$