Упр.344 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 344. Найти наибольшую площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в сферу радиуса R. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 344 118

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда для цилиндра, вписанного в сферу радиуса $$R$$, выполняется

$$ h^2+(2r)^2=(2R)^2, $$

откуда

$$ h=2\sqrt{R^2-r^2}. $$

Полная поверхность цилиндра:

$$ S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+4\pi r\sqrt{R^2-r^2}. $$

Найдём производную:

$$ S'(r)=4\pi r+4\pi\sqrt{R^2-r^2}-\frac{4\pi r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}. $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ S'(r)=\frac{4\pi\bigl(r\sqrt{R^2-r^2}+R^2-2r^2\bigr)}{\sqrt{R^2-r^2}}. $$

Критические точки найдём из уравнения

$$ r\sqrt{R^2-r^2}+R^2-2r^2=0. $$

Возведём в квадрат:

$$ r^2(R^2-r^2)=(2r^2-R^2)^2. $$

После преобразований получаем

$$ 5r^4-5R^2r^2+R^4=0. $$

Обозначим $$t=r^2$$. Тогда

$$ 5t^2-5R^2t+R^4=0. $$

Отсюда

$$ t=\frac{R^2(5\pm\sqrt5)}{10}, $$

то есть

$$ r^2=\frac{R^2(5\pm\sqrt5)}{10}. $$

Максимум площади достигается при большем значении $$r$$:

$$ r^2=\frac{R^2(5+\sqrt5)}{10}. $$

Тогда

$$ h=2\sqrt{R^2-\frac{R^2(5+\sqrt5)}{10}} =2R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{10}}. $$

Подставим в формулу площади:

$$ S_{\max}=2\pi r^2+2\pi rh =\frac{\pi R^2(5+\sqrt5)}{5}+\frac{2\pi R^2\sqrt{25-5}}{5} =\pi R^2(1+\sqrt5). $$

Ответ

$$\pi R^2(1+\sqrt5)$$