Упр.344 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти наибольшую площадь полной поверхности цилиндра, вписанного в сферу радиуса $$R$$.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда для цилиндра, вписанного в сферу радиуса $$R$$, выполняется

$$h^2+(2r)^2=(2R)^2,$$

откуда

$$h=2\sqrt{R^2-r^2}.$$

Полная поверхность цилиндра:

$$S(r)=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi r^2+4\pi r\sqrt{R^2-r^2}.$$

Найдём производную:

$$S'(r)=4\pi r+4\pi\sqrt{R^2-r^2}-\frac{4\pi r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}.$$

Приведём к общему знаменателю:

$$S'(r)=\frac{4\pi\bigl(r\sqrt{R^2-r^2}+R^2-2r^2\bigr)}{\sqrt{R^2-r^2}}.$$

Критические точки найдём из уравнения

$$r\sqrt{R^2-r^2}+R^2-2r^2=0.$$

Возведём в квадрат:

$$r^2(R^2-r^2)=(2r^2-R^2)^2.$$

После преобразований получаем

$$5r^4-5R^2r^2+R^4=0.$$

Обозначим $$t=r^2$$. Тогда

$$5t^2-5R^2t+R^4=0.$$

Отсюда

$$t=\frac{R^2(5\pm\sqrt5)}{10},$$

то есть

$$r^2=\frac{R^2(5\pm\sqrt5)}{10}.$$

Максимум площади достигается при большем значении $$r$$:

$$r^2=\frac{R^2(5+\sqrt5)}{10}.$$

Тогда

$$h=2\sqrt{R^2-\frac{R^2(5+\sqrt5)}{10}} =2R\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{10}}.$$

Подставим в формулу площади:

$$S_{\max}=2\pi r^2+2\pi rh =\frac{\pi R^2(5+\sqrt5)}{5}+\frac{2\pi R^2\sqrt{25-5}}{5} =\pi R^2(1+\sqrt5).$$

Ответ

$$\pi R^2(1+\sqrt5)$$