Упр.343 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 343. Найти наибольший объём цилиндра, площадь полной поверхности которого равна S.

Пусть $$r$$ — радиус основания цилиндра, $$h$$ — его высота. Тогда площадь полной поверхности равна

$$2\pi r^2+2\pi rh=S.$$

Выразим высоту:

$$2\pi rh=S-2\pi r^2,$$

$$h=\frac{S}{2\pi r}-r.$$

Объём цилиндра:

$$V(r)=\pi r^2h=\pi r^2\left(\frac{S}{2\pi r}-r\right)=\frac{rS}{2}-\pi r^3.$$

Найдём производную:

$$V'(r)=\frac{S}{2}-3\pi r^2.$$

Для максимума объёма приравняем производную к нулю:

$$\frac{S}{2}-3\pi r^2=0,$$

$$r^2=\frac{S}{6\pi}, \qquad r=\sqrt{\frac{S}{6\pi}}.$$

Подставим это значение в формулу объёма:

$$V_{\max}=\frac{rS}{2}-\pi r^3,$$

$$V_{\max}=\frac{S}{2}\sqrt{\frac{S}{6\pi}}-\pi\left(\sqrt{\frac{S}{6\pi}}\right)^3.$$

Упростим:

$$V_{\max}=\frac{S^{3/2}}{2\sqrt{6\pi}}-\frac{S^{3/2}}{6\sqrt{6\pi}}=\frac{S^{3/2}}{3\sqrt{6\pi}}.$$

Ответ

$$\frac{S^{3/2}}{3\sqrt{6\pi}}$$