Упр.342 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 342. Из квадратного листа картона со стороной а (рис. 83) надо сделать открытую сверху коробку прямоугольной формы, вырезав по углам квадраты и загнув образовавшиеся края. Какой должна быть высота коробки, чтобы её объём был наибольшим?

Подробный ответ

Пусть $$x$$ — сторона квадрата, вырезаемого по углам листа. Тогда высота коробки равна $$x$$, а сторона основания — $$a-2x$$.

Объём коробки:

$$V(x)=x(a-2x)^2.$$

Найдём производную:

$$ V'(x)=(a-2x)^2+x\cdot 2(a-2x)\cdot(-2) $$

$$ V'(x)=(a-2x)(a-6x). $$

Область допустимых значений:

$$0<x<\frac{a}{2}.$$

Критические точки из уравнения $$V'(x)=0$$:

$$ (a-2x)(a-6x)=0 $$

$$ x=\frac{a}{2} \quad \text{или} \quad x=\frac{a}{6}. $$

Значение $$x=\frac{a}{2}$$ не подходит, так как при этом основание коробки обращается в нуль. Следовательно, остаётся точка $$x=\frac{a}{6}$$.

При $$0<x<\frac{a}{6}$$ производная положительна, а при $$\frac{a}{6}<x<\frac{a}{2}$$ — отрицательна, значит, в точке $$x=\frac{a}{6}$$ объём максимален.