Упр.341 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Обозначая ВК = х, найти такое значение х, при котором площадь треугольника наименьшая.

Пусть $$BK=x$$. Тогда высота треугольника

$$BD=BK+KD=x+a.$$

Треугольники $$ABD$$ и $$EBK$$ подобны, поэтому

$$\frac{AD}{EK}=\frac{BD}{BK}.$$

Так как сторона квадрата равна $$a$$, то $$EK=\frac{a}{2}$$. Тогда

$$AD=\frac{EK\cdot BD}{BK}=\frac{a}{2}\cdot\frac{x+a}{x}=\frac{a(x+a)}{2x}.$$

Следовательно, основание треугольника

$$AC=2AD=\frac{a(x+a)}{x}.$$

Площадь треугольника:

$$S(x)=\frac12\cdot AC\cdot BD=\frac12\cdot \frac{a(x+a)}{x}\cdot (x+a)=\frac{a(x+a)^2}{2x}.$$

Найдём производную:

$$S(x)=\frac{ax^2+2a^2x+a^3}{2x},$$

$$S'(x)=\frac{a(x^2-a^2)}{2x^2}.$$

Для минимума площади нужно, чтобы

$$S'(x)=0,$$

откуда

$$x^2-a^2=0,$$

$$x=\pm a.$$

Так как $$x=BK>0$$, получаем $$x=a$$. При этом производная меняет знак с отрицательного на положительный, значит площадь действительно минимальна.

Ответ

$$x=a$$