Упр.340 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Сечение тоннеля имеет форму прямоугольника, сверху завершённого полукругом. Определить радиус полукруга, при котором площадь сечения будет наибольшей, если периметр сечения равен $$p$$.

Пусть $$r$$ — радиус полукруга, а $$h$$ — высота прямоугольной части сечения. Тогда ширина прямоугольника равна $$2r$$.

Периметр сечения состоит из двух боковых сторон, нижнего основания и дуги полукруга:

$$2h+2r+\pi r=p.$$

Отсюда

$$2h=p-2r-\pi r,$$

$$h=\frac{p-(2+\pi)r}{2}.$$

Площадь сечения:

$$S(r)=2rh+\frac12\pi r^2.$$

Подставим выражение для $$h$$:

$$S(r)=2r\cdot \frac{p-(2+\pi)r}{2}+\frac12\pi r^2$$

$$S(r)=r\bigl(p-(2+\pi)r\bigr)+\frac12\pi r^2$$

$$S(r)=pr-2r^2-\pi r^2+\frac12\pi r^2 =pr-2r^2-\frac12\pi r^2.$$

Найдём производную:

$$S'(r)=p-4r-\pi r=p-(4+\pi)r.$$

Для максимума площади приравняем производную к нулю:

$$p-(4+\pi)r=0,$$

$$r=\frac{p}{4+\pi}.$$

Так как $$S(r)$$ — квадратичная функция с отрицательным коэффициентом при $$r^2$$, найденная точка соответствует максимуму.

Ответ

$$\frac{p}{4+\pi}$$