Упр.338 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Найти точку касания графика функции и данной прямой, если:
1) $$y=3x^2+2x-5$$, $$y=2x-5$$;
2) $$y=3x^2-2x+5$$, $$y=10x-7$$;
3) $$y=x^3-5x+8$$, $$y=7x+24$$;
4) $$y=x^3-5x^2-3x+11$$, $$y=10x+18$$.

Подробный ответ

Для точки касания производная функции должна быть равна угловому коэффициенту прямой.
$$y=3x^2+2x-5,\quad y’=6x+2.$$
Приравниваем к угловому коэффициенту прямой $$y=2x-5$$:
$$6x+2=2,$$
$$6x=0,$$
$$x=0.$$
Тогда
$$y(0)=3\cdot 0^2+2\cdot 0-5=-5.$$
Точка касания: $$\,(0;\,-5).$$
$$y=3x^2-2x+5,\quad y’=6x-2.$$
Для прямой $$y=10x-7$$ имеем:
$$6x-2=10,$$
$$6x=12,$$
$$x=2.$$
Найдём ординату точки:
$$y(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2+5=12-4+5=13.$$
Точка касания: $$\,(2;\,13).$$
$$y=x^3-5x+8,\quad y’=3x^2-5.$$
Для прямой $$y=7x+24$$:
$$3x^2-5=7,$$
$$3x^2=12,$$
$$x^2=4,$$
$$x=\pm 2.$$
Проверим значения функции:
$$y(2)=2^3-5\cdot 2+8=8-10+8=6,$$
$$y(-2)=(-2)^3-5\cdot(-2)+8=-8+10+8=10.$$
Для точки касания подходит $$x=-2$$, так как
$$7\cdot(-2)+24=10.$$
Точка касания: $$\,(-2;\,10).$$
$$y=x^3-5x^2-3x+11,\quad y’=3x^2-10x-3.$$
Для прямой $$y=10x+18$$:
$$3x^2-10x-3=10,$$
$$3x^2-10x-13=0.$$
Найдём корни:
$$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot(-13)=100+156=256,$$
$$x=\frac{10\pm 16}{6}.$$
Получаем
$$x_1=-1,\quad x_2=\frac{13}{3}.$$
Проверим значения функции:
$$y(-1)=(-1)^3-5\cdot(-1)^2-3\cdot(-1)+11=-1-5+3+11=8,$$
$$10\cdot(-1)+18=8.$$
Значит, точка касания:
$$\,(-1;\,8).$$