Упр.338 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) у = 3х2 + 2х — 5, у = 2х- 5;
2) у = 3х2 — 2х +5, у = 10х — 7;
3) у = х3 — 5х + 8, у = 7х + 24;
4) у = х3 — 5х2 — 3х + 11, у= 10х+ 18.

1. Для точки касания производная функции должна быть равна угловому коэффициенту прямой.

   $$y=3x^2+2x-5,\quad y’=6x+2.$$

   Приравниваем к угловому коэффициенту прямой $$y=2x-5$$:

   $$6x+2=2,$$

   $$6x=0,$$

   $$x=0.$$

   Тогда

   $$y(0)=3\cdot 0^2+2\cdot 0-5=-5.$$

   Точка касания: $$\,(0;\,-5).$$

2. $$y=3x^2-2x+5,\quad y’=6x-2.$$

   Для прямой $$y=10x-7$$ имеем:

   $$6x-2=10,$$

   $$6x=12,$$

   $$x=2.$$

   Найдём ординату точки:

   $$y(2)=3\cdot 2^2-2\cdot 2+5=12-4+5=13.$$

   Точка касания: $$\,(2;\,13).$$

3. $$y=x^3-5x+8,\quad y’=3x^2-5.$$

   Для прямой $$y=7x+24$$:

   $$3x^2-5=7,$$

   $$3x^2=12,$$

   $$x^2=4,$$

   $$x=\pm 2.$$

   Проверим значения функции:

   $$y(2)=2^3-5\cdot 2+8=8-10+8=6,$$

   $$y(-2)=(-2)^3-5\cdot(-2)+8=-8+10+8=10.$$

   Для точки касания подходит $$x=-2$$, так как

   $$7\cdot(-2)+24=10.$$

   Точка касания: $$\,(-2;\,10).$$

4. $$y=x^3-5x^2-3x+11,\quad y’=3x^2-10x-3.$$

   Для прямой $$y=10x+18$$:

   $$3x^2-10x-3=10,$$

   $$3x^2-10x-13=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=(-10)^2-4\cdot 3\cdot(-13)=100+156=256,$$

   $$x=\frac{10\pm 16}{6}.$$

   Получаем

   $$x_1=-1,\quad x_2=\frac{13}{3}.$$

   Проверим значения функции:

   $$y(-1)=(-1)^3-5\cdot(-1)^2-3\cdot(-1)+11=-1-5+3+11=8,$$

   $$10\cdot(-1)+18=8.$$

   Значит, точка касания:

   $$\,(-1;\,8).$$

Ответ

1) $$\,(0;\,-5)$$; 2) $$\,(2;\,13)$$; 3) $$\,(-2;\,10)$$; 4) $$\,(-1;\,8).$$