Упр.334 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = 2sinx + sin2x на отрезке [0;3пи/2];
2) f(x) = 2cosx + sin 2х на отрезке [0; пи];
3) f(x) = 3sin х + 4cos2x на отрезке [0; пи/2];
4) f(x) = sinx + 2 корень 2cosx на отрезке [0; пи/2].

Подробный ответ

$$f(x)=2\sin x+\sin 2x,\quad x\in\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$
$$f'(x)=2\cos x+2\cos 2x$$
Найдём стационарные точки:
$$2\cos x+2\cos 2x=0$$
$$2\cos x+2(2\cos^2 x-1)=0$$
$$2\cos^2 x+\cos x-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$\cos x=\frac{-1\pm 3}{4}$$
$$\cos x=\frac12 \quad \text{или} \quad \cos x=-1$$
На отрезке $$\left[0;\frac{3\pi}{2}\right]$$ получаем точки $$x=\frac{\pi}{3},\ \pi$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарных точках:
$$f(0)=0$$
$$f\left(\frac{\pi}{3}\right)=2\sin\frac{\pi}{3}+\sin\frac{2\pi}{3}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
$$f(\pi)=0$$
$$f\left(\frac{3\pi}{2}\right)=2\sin\frac{3\pi}{2}+\sin 3\pi=-2$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$, наименьшее — $$-2$$.
$$f(x)=2\cos x+\sin 2x,\quad x\in[0;\pi]$$
$$f'(x)=-2\sin x+2\cos 2x$$
Найдём стационарные точки:
$$-2\sin x+2\cos 2x=0$$
$$-2\sin x+2(1-2\sin^2 x)=0$$
$$2\sin^2 x+\sin x-1=0$$
$$D=1+8=9$$
$$\sin x=\frac{-1\pm 3}{4}$$
$$\sin x=\frac12 \quad \text{или} \quad \sin x=-1$$
На отрезке $$[0;\pi]$$ получаем точки $$x=\frac{\pi}{6},\ \frac{5\pi}{6}$$.
Вычислим значения функции:
$$f(0)=2$$
$$f\left(\frac{\pi}{6}\right)=2\cos\frac{\pi}{6}+\sin\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
$$f\left(\frac{5\pi}{6}\right)=2\cos\frac{5\pi}{6}+\sin\frac{5\pi}{3}=-\sqrt{3}-\frac{\sqrt{3}}{2}=-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$
$$f(\pi)=-2$$
Значит, наибольшее значение равно $$\frac{3\sqrt{3}}{2}$$, наименьшее — $$-\frac{3\sqrt{3}}{2}$$.
$$f(x)=3\sin x+4\cos 2x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$
$$f'(x)=3\cos x-8\sin x\cos x=\cos x(3-16\sin x)$$
Стационарные точки:
$$\cos x=0 \quad \text{или} \quad \sin x=\frac{3}{16}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ это точки $$x=\frac{\pi}{2}$$ и $$x=\arcsin\frac{3}{16}$$.
Вычислим значения функции:
$$f(0)=4$$
$$f\left(\arcsin\frac{3}{16}\right)=3\cdot\frac{3}{16}+4\left(1-2\cdot\left(\frac{3}{16}\right)^2\right)=\frac{9}{16}+4\cdot\frac{119}{128}=\frac{137}{32}$$
$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=3\cdot 1+4\cos\pi=3-4=-1$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$\frac{137}{32}$$, наименьшее — $$-1$$.
$$f(x)=\sin x+2\sqrt{2}\cos x,\quad x\in\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$
$$f'(x)=\cos x-2\sqrt{2}\sin x$$
Найдём стационарную точку:
$$\cos x-2\sqrt{2}\sin x=0$$
$$\tan x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$
На отрезке $$\left[0;\frac{\pi}{2}\right]$$ получаем
$$x=\arctan\frac{1}{2\sqrt{2}}$$
Вычислим значения функции:
$$f(0)=2\sqrt{2}$$
При $$\tan x=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$ имеем
$$\sin x=\frac{1}{3},\quad \cos x=\frac{2\sqrt{2}}{3}$$
Тогда
$$f(x)=\frac{1}{3}+2\sqrt{2}\cdot\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{1}{3}+\frac{8}{3}=3$$
$$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$$
Значит, наибольшее значение равно $$3$$, наименьшее — $$1$$.