Упр.332 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) у = хlnх;
2) у = хех;
3) y= 4/x-3 — 16/x-7;
4) y=25/7-x — 9/3-x.

Подробный ответ

$$y=x\ln x$$
Область определения: $$x>0$$.
Найдём производную:
$$y’=(x\ln x)’=\ln x+1.$$
Критическая точка:
$$\ln x+1=0 \;\Rightarrow\; \ln x=-1 \;\Rightarrow\; x=e^{-1}.$$
При $$0<x<e^{-1}$$ имеем $$y'<0$$, а при $$x>e^{-1}$$ имеем $$y’>0$$. Значит, в точке $$x=e^{-1}$$ функция имеет минимум.
$$y=xe^x$$
Область определения: $$x\in\mathbb{R}$$.
Найдём производную:
$$y’=(xe^x)’=e^x+xe^x=e^x(1+x).$$
Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, то
$$y’=0 \;\Rightarrow\; 1+x=0 \;\Rightarrow\; x=-1.$$
При $$x<-1$$ производная отрицательна, при $$x>-1$$ положительна. Следовательно, в точке $$x=-1$$ функция имеет минимум.
$$y=\frac{4}{x-3}-\frac{16}{x-7}$$
Область определения: $$x\neq 3,\; x\neq 7$$.
Найдём производную:
$$y’=-\frac{4}{(x-3)^2}+\frac{16}{(x-7)^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ y’=\frac{16(x-3)^2-4(x-7)^2}{(x-3)^2(x-7)^2}. $$
Числитель:
$$ 16(x-3)^2-4(x-7)^2=0 $$
$$ 4(x-3)^2-(x-7)^2=0 $$
$$ 4(x^2-6x+9)-(x^2-14x+49)=0 $$
$$ 3x^2-10x-13=0. $$
Решаем квадратное уравнение:
$$ D=100+156=256, $$
$$ x_{1,2}=\frac{10\pm 16}{6}. $$
Отсюда
$$x_1=-1,\qquad x_2=\frac{13}{3}.$$
Знак производной меняется так: $$y'<0$$ на $$(-\infty,-1)$$, $$y’>0$$ на $$(-1,3)$$, $$y'<0$$ на $$(3,\frac{13}{3})$$, $$y’>0$$ на $$(\frac{13}{3},+\infty)$$. Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, а в точке $$x=\frac{13}{3}$$ — минимум.
$$y=\frac{25}{7-x}-\frac{9}{3-x}$$
Область определения: $$x\neq 7,\; x\neq 3$$.
Найдём производную:
$$y’=\frac{25}{(7-x)^2}-\frac{9}{(3-x)^2}.$$
Приведём к общему знаменателю:
$$ y’=\frac{25(3-x)^2-9(7-x)^2}{(3-x)^2(7-x)^2}. $$
Числитель:
$$ 25(3-x)^2-9(7-x)^2=0 $$
$$ 25(x^2-6x+9)-9(x^2-14x+49)=0 $$
$$ 16x^2-24x-216=0 $$
$$ 2x^2-3x-27=0. $$
Решаем уравнение:
$$ D=9+216=225, $$
$$ x_{1,2}=\frac{3\pm 15}{4}. $$
Получаем
$$x_1=-3,\qquad x_2=\frac{9}{2}.$$
Знак производной: $$y'<0$$ на $$(-\infty,-3)$$, $$y’>0$$ на $$(-3,3)$$, $$y'<0$$ на $$(3,\frac{9}{2})$$, $$y’>0$$ на $$(\frac{9}{2},+\infty)$$. Значит, в точке $$x=-3$$ — максимум, а в точке $$x=\frac{9}{2}$$ — минимум.