Упр.332 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти точки экстремума функции:

1. $$y=x\ln x$$;
2. $$y=xe^x$$;
3. $$y=\frac{4}{x-3}-\frac{16}{x-7}$$;
4. $$y=\frac{25}{7-x}-\frac{9}{3-x}$$.

1. $$y=x\ln x$$

   Область определения: $$x>0$$.

   Найдём производную:

   $$y’=(x\ln x)’=\ln x+1.$$

   Критическая точка:

   $$\ln x+1=0 \;\Rightarrow\; \ln x=-1 \;\Rightarrow\; x=e^{-1}.$$

   При $$0<x<e^{-1}$$ имеем $$y'<0$$, а при $$x>e^{-1}$$ имеем $$y’>0$$. Значит, в точке $$x=e^{-1}$$ функция имеет минимум.

2. $$y=xe^x$$

   Область определения: $$x\in\mathbb{R}$$.

   Найдём производную:

   $$y’=(xe^x)’=e^x+xe^x=e^x(1+x).$$

   Так как $$e^x>0$$ при всех $$x$$, то

   $$y’=0 \;\Rightarrow\; 1+x=0 \;\Rightarrow\; x=-1.$$

   При $$x<-1$$ производная отрицательна, при $$x>-1$$ положительна. Следовательно, в точке $$x=-1$$ функция имеет минимум.

3. $$y=\frac{4}{x-3}-\frac{16}{x-7}$$

   Область определения: $$x\neq 3,\; x\neq 7$$.

   Найдём производную:

   $$y’=-\frac{4}{(x-3)^2}+\frac{16}{(x-7)^2}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y’=\frac{16(x-3)^2-4(x-7)^2}{(x-3)^2(x-7)^2}.$$

   Числитель:

   $$16(x-3)^2-4(x-7)^2=0$$

   $$4(x-3)^2-(x-7)^2=0$$

   $$4(x^2-6x+9)-(x^2-14x+49)=0$$

   $$3x^2-10x-13=0.$$

   Решаем квадратное уравнение:

   $$D=100+156=256,$$

   $$x_{1,2}=\frac{10\pm 16}{6}.$$

   Отсюда

   $$x_1=-1,\qquad x_2=\frac{13}{3}.$$

   Знак производной меняется так: $$y'<0$$ на $$(-\infty,-1)$$, $$y’>0$$ на $$(-1,3)$$, $$y'<0$$ на $$(3,\frac{13}{3})$$, $$y’>0$$ на $$(\frac{13}{3},+\infty)$$. Значит, в точке $$x=-1$$ — максимум, а в точке $$x=\frac{13}{3}$$ — минимум.

4. $$y=\frac{25}{7-x}-\frac{9}{3-x}$$

   Область определения: $$x\neq 7,\; x\neq 3$$.

   Найдём производную:

   $$y’=\frac{25}{(7-x)^2}-\frac{9}{(3-x)^2}.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$y’=\frac{25(3-x)^2-9(7-x)^2}{(3-x)^2(7-x)^2}.$$

   Числитель:

   $$25(3-x)^2-9(7-x)^2=0$$

   $$25(x^2-6x+9)-9(x^2-14x+49)=0$$

   $$16x^2-24x-216=0$$

   $$2x^2-3x-27=0.$$

   Решаем уравнение:

   $$D=9+216=225,$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm 15}{4}.$$

   Получаем

   $$x_1=-3,\qquad x_2=\frac{9}{2}.$$

   Знак производной: $$y'<0$$ на $$(-\infty,-3)$$, $$y’>0$$ на $$(-3,3)$$, $$y'<0$$ на $$(3,\frac{9}{2})$$, $$y’>0$$ на $$(\frac{9}{2},+\infty)$$. Значит, в точке $$x=-3$$ — максимум, а в точке $$x=\frac{9}{2}$$ — минимум.

Ответ

1) $$x=e^{-1}$$ — точка минимума.

2) $$x=-1$$ — точка минимума.

3) $$x=-1$$ — точка максимума, $$x=\frac{13}{3}$$ — точка минимума.

4) $$x=-3$$ — точка максимума, $$x=\frac{9}{2}$$ — точка минимума.