Упр.331 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что функция $$y=x(1+2\sqrt{x})$$ возрастает на всей области определения.

Найдём область определения функции:

$$x \ge 0.$$

Рассмотрим производную:

$$y=x(1+2\sqrt{x})$$

$$y’=(x)'(1+2\sqrt{x})+x(1+2\sqrt{x})’$$

$$y’=1\cdot(1+2\sqrt{x})+x\cdot 2\cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}$$

$$y’=1+2\sqrt{x}+\sqrt{x}=1+3\sqrt{x}.$$

Так как при всех $$x \ge 0$$ имеем $$\sqrt{x} \ge 0,$$ то

$$y’=1+3\sqrt{x}>0.$$

Следовательно, функция возрастает на всей области определения.

Ответ

Функция $$y=x(1+2\sqrt{x})$$ возрастает на $$[0;+\infty).$$