Упр.330 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Доказать, что функция $$y=1{,}8x^5-2*1/3x^3+7x+12{,}5$$ возрастает на всей области определения.

Найдём производную функции:

$$y=1{,}8x^5-2\frac{1}{3}x^3+7x+12{,}5$$

$$y’=1{,}8\cdot 5x^4-2\frac{1}{3}\cdot 3x^2+7$$

$$y’=9x^4-7x^2+7$$

Исследуем знак производной. Обозначим $$t=x^2$$, тогда $$t\ge 0$$ и

$$y’=9t^2-7t+7.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен. Его дискриминант:

$$D=(-7)^2-4\cdot 9\cdot 7=49-252=-203<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, а дискриминант отрицателен, то

$$9t^2-7t+7>0$$

при всех $$t$$, а значит, и при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Следовательно, $$y’>0$$ на всей области определения функции, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

Функция возрастает на $$\mathbb{R}$$.