Упр.330 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 330. Доказать, что функция у = 1,8×5 — 2*1/3х3 + 7х + 12,5 возрастает на всей области определения. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 330 118

Найдём производную функции:

$$y=1{,}8x^5-2\frac{1}{3}x^3+7x+12{,}5$$

$$y’=1{,}8\cdot 5x^4-2\frac{1}{3}\cdot 3x^2+7$$

$$y’=9x^4-7x^2+7$$

Исследуем знак производной. Обозначим $$t=x^2$$, тогда $$t\ge 0$$ и

$$y’=9t^2-7t+7.$$

Рассмотрим квадратный трёхчлен. Его дискриминант:

$$D=(-7)^2-4\cdot 9\cdot 7=49-252=-203<0.$$

Так как старший коэффициент положителен, а дискриминант отрицателен, то

$$9t^2-7t+7>0$$

при всех $$t$$, а значит, и при всех $$x\in \mathbb{R}$$.

Следовательно, $$y’>0$$ на всей области определения функции, поэтому функция возрастает на всей числовой прямой.

Ответ

Функция возрастает на $$\mathbb{R}$$.