Упр.329 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = (x-1)3/x;
2) f(x) = x4/x3-1.

Подробный ответ

$$f(x)=\frac{(x-1)^3}{x^2}$$
Вертикальная асимптота возможна при $$x=0$$, так как знаменатель обращается в нуль:
$$\lim_{x\to 0}\frac{(x-1)^3}{x^2}=\frac{-1}{0}= \infty,$$
значит, $$x=0$$ — вертикальная асимптота.
Найдём наклонную асимптоту $$y=kx+b$$:
$$k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{(x-1)^3}{x^3}=1.$$
Тогда
$$b=\lim_{x\to\infty}\bigl(f(x)-kx\bigr)=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{(x-1)^3}{x^2}-x\right).$$
Раскроем скобки:
$$\frac{(x-1)^3}{x^2}-x=\frac{x^3-3x^2+3x-1-x^3}{x^2}=\frac{-3x^2+3x-1}{x^2}.$$
Тогда
$$b=\lim_{x\to\infty}\left(-3+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}\right)=-3.$$
Следовательно, наклонная асимптота: $$y=x-3.$$
$$f(x)=\frac{x^4}{x^3-1}$$
Вертикальная асимптота возможна при $$x^3-1=0$$, то есть при $$x=1$$.
Проверим предел:
$$\lim_{x\to 1}\frac{x^4}{x^3-1}=\frac{1}{0}=\infty,$$
значит, $$x=1$$ — вертикальная асимптота.
Найдём наклонную асимптоту $$y=kx+b$$:
$$k=\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^4}{x(x^3-1)}=\lim_{x\to\infty}\frac{x^3}{x^3-1}=1.$$
Теперь
$$b=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{x^4}{x^3-1}-x\right)=\lim_{x\to\infty}\frac{x^4-x(x^3-1)}{x^3-1}=\lim_{x\to\infty}\frac{x}{x^3-1}=0.$$
Следовательно, наклонная асимптота: $$y=x.$$