Упр.328 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Из всех прямоугольных параллелепипедов, у которых в основании лежит квадрат и площадь полной поверхности равна $$600\ \text{см}^2$$, найти параллелепипед наибольшего объёма.

Пусть сторона квадрата в основании равна $$a$$, а высота параллелепипеда — $$b$$.

Тогда площадь полной поверхности:

$$2a^2+4ab=600.$$

Отсюда

$$a^2+2ab=300,$$

$$2ab=300-a^2,$$

$$b=\frac{300-a^2}{2a}=\frac{150}{a}-\frac{a}{2}.$$

Объём параллелепипеда:

$$V(a)=a^2b=a^2\left(\frac{150}{a}-\frac{a}{2}\right)=150a-\frac{a^3}{2}.$$

Найдём производную:

$$V'(a)=150-\frac{3}{2}a^2.$$

Для максимума приравняем производную к нулю:

$$150-\frac{3}{2}a^2=0,$$

$$\frac{3}{2}a^2=150,$$

$$a^2=100,$$

$$a=10.$$

Тогда

$$b=\frac{150}{10}-\frac{10}{2}=15-5=10.$$

Следовательно, искомый параллелепипед — куб со стороной $$10$$ см.

Ответ

Куб с ребром $$10$$ см.