Упр.327 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Из всех равнобедренных треугольников с периметром $$p$$ найти треугольник с наибольшей площадью.

Пусть $$a$$ — боковая сторона равнобедренного треугольника, $$b$$ — основание. Тогда

$$2a+b=p, \qquad b=p-2a.$$

Высота треугольника:

$$h=\sqrt{a^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2} =\sqrt{a^2-\frac{(p-2a)^2}{4}} =\frac{\sqrt{4ap-p^2}}{2}.$$

Площадь как функция от $$a$$:

$$S(a)=\frac12 bh=\frac12(p-2a)\cdot \frac{\sqrt{4ap-p^2}}{2} =\frac{(p-2a)\sqrt{4ap-p^2}}{4}.$$

Найдём производную:

$$S'(a)=\frac{p^2-3ap}{\sqrt{4ap-p^2}}.$$

Так как $$\sqrt{4ap-p^2}>0$$, знак производной определяется числителем:

$$p^2-3ap=p(p-3a).$$

При $$p>0$$ получаем

$$S'(a)=0 \iff p-3a=0 \iff a=\frac{p}{3}.$$

В этой точке площадь максимальна. Тогда

$$b=p-2a=p-\frac{2p}{3}=\frac{p}{3}.$$

Следовательно, треугольник с наибольшей площадью — равносторонний.

Ответ

Равносторонний треугольник со стороной $$\frac{p}{3}$$.