Упр.326 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что из всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Пусть $$a$$ — боковая сторона, $$b$$ — основание равнобедренного треугольника, вписанного в окружность радиуса $$R$$, а $$\varphi$$ — угол при основании. Тогда по теореме синусов:

$$\frac{a}{\sin \varphi}=\frac{b}{\sin(180^\circ-2\varphi)}=2R.$$

Отсюда

$$a=2R\sin \varphi,\qquad b=2R\sin 2\varphi.$$

Периметр треугольника:

$$P(\varphi)=2a+b=4R\sin \varphi+2R\sin 2\varphi.$$

Найдём производную:

$$P'(\varphi)=4R\cos \varphi+4R\cos 2\varphi=4R(\cos \varphi+\cos 2\varphi).$$

Приравняем её к нулю:

$$\cos \varphi+\cos 2\varphi=0.$$

Используем формулу $$\cos 2\varphi=2\cos^2\varphi-1$$:

$$2\cos^2\varphi+\cos \varphi-1=0.$$

Обозначим $$t=\cos \varphi$$. Тогда

$$2t^2+t-1=0,$$

$$D=1+8=9,$$

$$t_1=\frac{-1+3}{4}=\frac12,\qquad t_2=\frac{-1-3}{4}=-1.$$

Так как $$0\le \varphi\le \frac{\pi}{2}$$, то подходит только

$$\cos \varphi=\frac12,\qquad \varphi=\frac{\pi}{3}.$$

Тогда

$$180^\circ-2\varphi=180^\circ-120^\circ=60^\circ,$$

то есть все углы треугольника равны $$60^\circ$$. Следовательно, треугольник равносторонний.

Итак, среди всех равнобедренных треугольников, вписанных в данный круг, наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.

Ответ

Наибольший периметр имеет равносторонний треугольник.