Упр.325 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) f(x) = x3 — 6х2 + 9 на отрезке [-2; 2];
2) f(х) = x3 + 6×2 + 9x на отрезке [-4; 0];
3) f(x) = х4 — 2х2 + 3 на отрезке [-4; 3];
4) f(x) = х4 — 8×2 + 5 на отрезке [-3; 2].

Подробный ответ

$$f(x)=x^3-6x^2+9,\quad x\in[-2;2]$$
$$f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$$
На отрезке $$[-2;2]$$ стационарная точка: $$x=0$$.
Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:
$$f(-2)=-8-24+9=-23$$
$$f(0)=9$$
$$f(2)=8-24+9=-7$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$9$$, наименьшее — $$-23$$.
$$f(x)=x^3+6x^2+9x,\quad x\in[-4;0]$$
$$f'(x)=3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)=3(x+1)(x+3)$$
Стационарные точки на отрезке: $$x=-3$$ и $$x=-1$$.
Вычислим значения функции:
$$f(-4)=-64+96-36=-4$$
$$f(-3)=-27+54-27=0$$
$$f(-1)=-1+6-9=-4$$
$$f(0)=0$$
Значит, наибольшее значение равно $$0$$, наименьшее — $$-4$$.
$$f(x)=x^4-2x^2+3,\quad x\in[-4;3]$$
$$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$
Стационарные точки: $$x=-1,\;0,\;1$$.
Вычислим значения функции:
$$f(-4)=256-32+3=227$$
$$f(-1)=1-2+3=2$$
$$f(0)=3$$
$$f(1)=1-2+3=2$$
$$f(3)=81-18+3=66$$
Следовательно, наибольшее значение равно $$227$$, наименьшее — $$2$$.
$$f(x)=x^4-8x^2+5,\quad x\in[-3;2]$$
$$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$
Стационарные точки на отрезке: $$x=-2,\;0,\;2$$.
Вычислим значения функции:
$$f(-3)=81-72+5=14$$
$$f(-2)=16-32+5=-11$$
$$f(0)=5$$
$$f(2)=16-32+5=-11$$
Значит, наибольшее значение равно $$14$$, наименьшее — $$-11$$.