Упр.325 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти наибольшее и наименьшее значения функции:

1. 1) $$f(x)=x^3-6x^2+9$$ на отрезке $$[-2; 2]$$;

   2) $$f(x)=x^3+6x^2+9x$$ на отрезке $$[-4; 0]$$;

   3) $$f(x)=x^4-2x^2+3$$ на отрезке $$[-4; 3]$$;

   4) $$f(x)=x^4-8x^2+5$$ на отрезке $$[-3; 2]$$.

1. $$f(x)=x^3-6x^2+9,\quad x\in[-2;2]$$

   $$f'(x)=3x^2-12x=3x(x-4)$$

   На отрезке $$[-2;2]$$ стационарная точка: $$x=0$$.

   Вычислим значения функции в концах отрезка и в стационарной точке:

   $$f(-2)=-8-24+9=-23$$

   $$f(0)=9$$

   $$f(2)=8-24+9=-7$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$9$$, наименьшее — $$-23$$.

2. $$f(x)=x^3+6x^2+9x,\quad x\in[-4;0]$$

   $$f'(x)=3x^2+12x+9=3(x^2+4x+3)=3(x+1)(x+3)$$

   Стационарные точки на отрезке: $$x=-3$$ и $$x=-1$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-4)=-64+96-36=-4$$

   $$f(-3)=-27+54-27=0$$

   $$f(-1)=-1+6-9=-4$$

   $$f(0)=0$$

   Значит, наибольшее значение равно $$0$$, наименьшее — $$-4$$.

3. $$f(x)=x^4-2x^2+3,\quad x\in[-4;3]$$

   $$f'(x)=4x^3-4x=4x(x^2-1)=4x(x-1)(x+1)$$

   Стационарные точки: $$x=-1,\;0,\;1$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-4)=256-32+3=227$$

   $$f(-1)=1-2+3=2$$

   $$f(0)=3$$

   $$f(1)=1-2+3=2$$

   $$f(3)=81-18+3=66$$

   Следовательно, наибольшее значение равно $$227$$, наименьшее — $$2$$.

4. $$f(x)=x^4-8x^2+5,\quad x\in[-3;2]$$

   $$f'(x)=4x^3-16x=4x(x^2-4)=4x(x-2)(x+2)$$

   Стационарные точки на отрезке: $$x=-2,\;0,\;2$$.

   Вычислим значения функции:

   $$f(-3)=81-72+5=14$$

   $$f(-2)=16-32+5=-11$$

   $$f(0)=5$$

   $$f(2)=16-32+5=-11$$

   Значит, наибольшее значение равно $$14$$, наименьшее — $$-11$$.

Ответ

1) $$-23$$; $$9$$. 2) $$-4$$; $$0$$. 3) $$2$$; $$227$$. 4) $$-11$$; $$14$$.