Упр.324 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

1) у = 3×2 — 6x + 5 на отрезке [0; 3];
2) у = 1/4х4 — 2/3×3 на отрезке [-1; 3].

Подробный ответ

1) Рассмотрим функцию $$y=3x^2-6x+5$$ на отрезке $$[0;3].$$

Найдём производную:

$$y’=6x-6=6(x-1).$$

Критическая точка: $$x=1.$$

Так как $$y»=6>0,$$ парабола ветвями вверх, значит в точке $$x=1$$ — минимум.

Вычислим значения функции в характерных точках отрезка:

$$y(0)=5,\quad y(1)=2,\quad y(2)=5,\quad y(3)=14.$$

Для построения графика достаточно отметить точки $$\,(0;5),\,(1;2),\,(2;5),\,(3;14)\,$$ и провести через них плавную параболу.

2) Рассмотрим функцию $$y=\frac14x^4-\frac23x^3$$ на отрезке $$[-1;3].$$

Найдём производную:

$$y’=x^3-2x^2=x^2(x-2).$$

Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2.$$

Исследуем знак производной: при $$x<2$$ имеем $$y'<0$$ (кроме точки $$x=0$$), при $$x>2$$ имеем $$y’>0.$$ Значит, функция убывает на $$[-1;2]$$ и возрастает на $$[2;3].$$

Найдём вторую производную:

$$y»=3x^2-4x=x(3x-4).$$

Точки возможного перегиба: $$x=0$$ и $$x=\frac43.$$

Вычислим значения функции в нужных точках:

$$y(-1)=\frac14-\frac23=-\frac5{12},\quad y(0)=0,\quad y(2)=4-\frac{16}{3}=-\frac43,\quad y(3)=\frac{81}{4}-18=\frac94.$$

Для построения графика отметим точки $$(-1;-\frac5{12}),\,(0;0),\,(2;-\frac43),\,(3;\frac94)$$ и соединим их плавной кривой с учётом убывания до $$x=2$$ и возрастания после $$x=2.$$