Упр.323 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Построить график функции:
1) $$y=-x^4+8x^2-16$$;
2) $$y=\frac{1}{4}x^4-\frac{1}{24}x^6$$;
3) $$y=x/3-+3x^2$$;
4) $$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$.
$$y=-x^4+8x^2-16$$
$$y’=-4x^3+16x=-4x(x-2)(x+2)$$
$$y»=16-12x^2$$
$$y’=0 \Rightarrow x=-2,\;0,\;2$$
$$y»=0 \Rightarrow x=\pm \frac{2}{\sqrt{3}}$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=y(x)$$.
Найдём несколько точек:
$$y(0)=-16,\quad y(\pm 1)=-9,\quad y(\pm 2)=0,\quad y(\pm 3)=-25$$
По этим данным строим график: он симметричен относительно оси $$Oy$$, имеет максимумы в точках $$(-2,0)$$ и $$(2,0)$$, минимум в точке $$(0,-16)$$.
$$y=\frac14x^4-\frac1{24}x^6$$
$$y’ = x^3-\frac14x^5=\frac14x^3(4-x^2)$$
$$y»=3x^2-\frac54x^4=\frac14x^2(12-5x^2)$$
$$y’=0 \Rightarrow x=-2,\;0,\;2$$
$$y»=0 \Rightarrow x=\pm \frac{2\sqrt3}{\sqrt5}$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=y(x)$$.
Найдём точки:
$$y(0)=0,\quad y(\pm 2)=\frac43,\quad y(\pm \sqrt6)=0,\quad y(3)=-\frac{81}{8}$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$, проходит через точки $$(0,0)$$, $$(\pm 2,\frac43)$$, $$(\pm \sqrt6,0)$$.
$$y=\frac{x^3}{3}+3x^2$$
$$y’=x^2+6x=x(x+6)$$
$$y»=2x+6$$
$$y’=0 \Rightarrow x=-6,\;0$$
$$y»=0 \Rightarrow x=-3$$
Функция не является чётной или нечётной.
Найдём точки:
$$y(-9)=0,\quad y(-6)=36,\quad y(0)=0,\quad y(3)=36$$
По этим точкам строим график: он имеет максимум в точке $$(-6,36)$$ и минимум в точке $$(0,0)$$.
$$y=-\frac{x^4}{4}+x^2$$
$$y’=-x^3+2x=x(2-x^2)$$
$$y»=-3x^2+2$$
$$y’=0 \Rightarrow x=-\sqrt2,\;0,\;\sqrt2$$
$$y»=0 \Rightarrow x=\pm \sqrt{\frac23}=\pm \frac{\sqrt2}{\sqrt3}$$
Функция чётная, так как $$y(-x)=y(x)$$.
Найдём точки:
$$y(0)=0,\quad y(\pm \sqrt2)=1,\quad y(\pm 2)=0,\quad y(3)=-\frac{81}{4}+9=-\frac{45}{4}$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$, имеет максимумы в точках $$(-\sqrt2,1)$$ и $$(\sqrt2,1)$$, а в точке $$(0,0)$$ — минимум.
Ответ
Графики построены по найденным опорным точкам, экстремумам и точкам перегиба.
