Упр.322 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти точки экстремума и значения функции в этих точках:

1. $$y=x^5-2{,}5x^2+3$$
2. $$y=0{,}2x^5-4x^2-3$$

1. $$y=x^5-2{,}5x^2+3$$

   Найдём производную:

   $$y’=5x^4-5x=5x(x^3-1)=5x(x-1)(x^2+x+1).$$

   Так как $$x^2+x+1>0$$ при всех $$x$$, то знак производной определяется множителем $$x(x-1)$$.

   Критические точки: $$x=0$$ и $$x=1$$.

   Исследуем знак $$y’$$:

   • при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает;
   • при $$0<x<1$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
   • при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает.

   Значит, в точке $$x=0$$ — максимум, а в точке $$x=1$$ — минимум.

   Вычислим значения функции:

   $$y(0)=0-0+3=3,$$

   $$y(1)=1-2{,}5+3=1{,}5.$$

2. $$y=0{,}2x^5-4x^2-3$$

   Найдём производную:

   $$y’=0{,}2\cdot 5x^4-8x=x^4-8x=x(x^3-8)=x(x-2)(x^2+2x+4).$$

   Так как $$x^2+2x+4>0$$ при всех $$x$$, знак производной определяется множителем $$x(x-2)$$.

   Критические точки: $$x=0$$ и $$x=2$$.

   Исследуем знак $$y’$$:

   • при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает;
   • при $$0<x<2$$ имеем $$y'<0$$, функция убывает;
   • при $$x>2$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает.

   Значит, в точке $$x=0$$ — максимум, а в точке $$x=2$$ — минимум.

   Вычислим значения функции:

   $$y(0)=0-0-3=-3,$$

   $$y(2)=0{,}2\cdot 2^5-4\cdot 2^2-3=0{,}2\cdot 32-16-3=-12{,}6.$$

Ответ

1) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=3$$; $$x=1$$ — точка минимума, $$y(1)=1{,}5$$.

2) $$x=0$$ — точка максимума, $$y(0)=-3$$; $$x=2$$ — точка минимума, $$y(2)=-12{,}6$$.