Упр.321 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти точки экстремума функции: 1) $$y=x^8-4x^2$$; 2) $$y=3x^4-4x^3$$.

1. $$y=x^3-4x^2$$

   Найдём производную:

   $$y’=3x^2-8x=x(3x-8)$$

   Критические точки:

   $$x(3x-8)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=\frac{8}{3}$$

   Исследуем знак производной:

   при $$x<0$$ имеем $$y’>0$$, при $$0<x<\frac{8}{3}$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>\frac{8}{3}$$ имеем $$y’>0$$.

   Значит, в точке $$x=0$$ функция возрастает и затем убывает, то есть это точка максимума; в точке $$x=\frac{8}{3}$$ функция убывает и затем возрастает, то есть это точка минимума.

2. $$y=3x^4-4x^3$$

   Найдём производную:

   $$y’=12x^3-12x^2=12x^2(x-1)$$

   Критические точки:

   $$12x^2(x-1)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=1$$

   Так как $$12x^2\ge 0$$, знак производной определяется множителем $$x-1$$. При $$x<1$$ имеем $$y'<0$$, при $$x>1$$ имеем $$y’>0$$.

   Следовательно, в точке $$x=1$$ функция убывает и затем возрастает, значит это точка минимума. Точка $$x=0$$ не является точкой экстремума.

Ответ

1) $$x=0$$ — точка максимума, $$x=\frac{8}{3}$$ — точка минимума.
2) $$x=1$$ — точка минимума.