Упр.320 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти стационарные точки функции:
   1. $$y=x^4-4x^8-8x^2+1$$;
   2. $$y=4x^4-2x^2+3$$;
   3. $$y=\frac{x}{3}+\frac{12}{x}$$;
   4. $$y=\cos 2x+2\cos x$$.

1. $$y=x^4-4x^3-8x^2+1$$

   Найдём производную:

   $$y’=4x^3-12x^2-16x$$

   Стационарные точки находятся из уравнения $$y’=0$$:

   $$4x^3-12x^2-16x=0$$

   $$4x(x^2-3x-4)=0$$

   $$4x(x-4)(x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$x=-1,\;0,\;4$$

2. $$y=4x^4-2x^2+3$$

   Найдём производную:

   $$y’=16x^3-4x$$

   Решим уравнение $$y’=0$$:

   $$16x^3-4x=0$$

   $$4x(4x^2-1)=0$$

   $$4x(2x-1)(2x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$x=-\frac12,\;0,\;\frac12$$

3. $$y=\frac{x}{3}+\frac{12}{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0$$.

   Найдём производную:

   $$y’=\frac13-\frac{12}{x^2}=\frac{x^2-36}{3x^2}$$

   Стационарные точки находятся из уравнения $$y’=0$$:

   $$x^2-36=0$$

   $$x^2=36$$

   $$x=\pm 6$$

4. $$y=\cos 2x+2\cos x$$

   Найдём производную:

   $$y’=-2\sin 2x-2\sin x$$

   Преобразуем:

   $$-2\sin 2x-2\sin x=-4\sin x\cos x-2\sin x=-2\sin x(2\cos x+1)$$

   Решим уравнение $$y’=0$$:

   $$-2\sin x(2\cos x+1)=0$$

   Отсюда:

   $$\sin x=0 \quad \text{или} \quad 2\cos x+1=0$$

   $$\sin x=0 \Rightarrow x=\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

   $$2\cos x+1=0 \Rightarrow \cos x=-\frac12 \Rightarrow x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$

Ответ

1) $$x=-1,\;0,\;4$$; 2) $$x=-\frac12,\;0,\;\frac12$$; 3) $$x=-6,\;6$$; 4) $$x=\pi n,\; x=\pm\frac{2\pi}{3}+2\pi n,\; n\in\mathbb Z$$.