Упр.319 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти интервалы возрастания и убывания функции:

1. 1) $$y=2x^3+3x^2-2$$; 2) $$y=\frac{2}{3}x^3-x^2-4x+5$$; 3) $$y=\frac{3}{x}-1$$; 4) $$y=\frac{2}{x}-3$$.

1. $$y=2x^3+3x^2-2$$

   Найдём производную:

   $$y’=6x^2+6x=6x(x+1)$$

   Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=0$$.

   Исследуем знак производной:

   $$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(0;+\infty),$$

   $$y'<0$$ при $$x\in(-1;0).$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[0;+\infty),$$ убывает на $$[-1;0].$$

2. $$y=\frac{2}{3}x^3-x^2-4x+5$$

   Найдём производную:

   $$y’=2x^2-2x-4=2(x^2-x-2)=2(x+1)(x-2)$$

   Критические точки: $$x=-1$$ и $$x=2$$.

   Исследуем знак производной:

   $$y’>0$$ при $$x\in(-\infty;-1)\cup(2;+\infty),$$

   $$y'<0$$ при $$x\in(-1;2).$$

   Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$[-1;2].$$

3. $$y=\frac{3}{x}-1$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   Найдём производную:

   $$y’=-\frac{3}{x^2}$$

   Так как $$x^2>0$$ при $$x\ne 0,$$ то $$y'<0$$ на всей области определения.

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

4. $$y=\frac{2}{x-3}$$

   Область определения: $$x\ne 3.$$

   Найдём производную:

   $$y’=-\frac{2}{(x-3)^2}$$

   Так как $$(x-3)^2>0$$ при $$x\ne 3,$$ то $$y'<0$$ на всей области определения.

   Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$

Ответ

1) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[0;+\infty),$$ убывает на $$[-1;0]$$;

2) возрастает на $$(-\infty;-1]\cup[2;+\infty),$$ убывает на $$[-1;2]$$;

3) убывает на $$(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;

4) убывает на $$(-\infty;3)\cup(3;+\infty).$$