Упр.318 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Сколько действительных корней имеет уравнение $$1-2x+2x^3-x^5=0$$?

Рассмотрим функцию $$y=1-2x+2x^3-x^5.$$

Найдём её производную:

$$y’=-2+6x^2-5x^4.$$

Исследуем знак производной:

$$-5x^4+6x^2-2=0.$$

Положим $$t=x^2,\quad t\ge 0.$$ Тогда получаем квадратное уравнение

$$-5t^2+6t-2=0,$$

или

$$5t^2-6t+2=0.$$

Дискриминант:

$$D=(-6)^2-4\cdot 5\cdot 2=36-40=-4<0.$$

Значит, действительных значений $$t$$ нет, следовательно, $$y'<0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$.

Итак, функция $$y=1-2x+2x^3-x^5$$ строго убывает на всей числовой прямой. Так как

$$y(0)=1>0,$$

а при $$x\to +\infty$$ имеем $$y\to -\infty,$$ то график функции пересекает ось $$Ox$$ ровно один раз.

Ответ

Один действительный корень.