Упр.317 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
2) y = х3-х2 + х-1.
1) $$y=x^3-x^2-x+1$$
Найдём производные:
$$y’=3x^2-2x-1,$$
$$y»=6x-2.$$
Критические точки:
$$3x^2-2x-1=0,$$
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot(-1)=16,$$
$$x_1=\frac{2-4}{6}=-\frac13,\qquad x_2=\frac{2+4}{6}=1.$$
Знак $$y’$$:
$$y’>0 \text{ при } x<-\frac13 \text{ и } x>1,$$
$$y'<0 \text{ при } -\frac13<x<1.$$
Значит, функция возрастает на $$(-\infty;-\frac13)\cup(1;+\infty)$$ и убывает на $$(-\frac13;1).$$
Выпуклость:
$$y»=6x-2=0 \Rightarrow x=\frac13.$$
При $$x<\frac13$$ имеем $$y»<0$$, значит график выпукл вниз; при $$x>\frac13$$ имеем $$y»>0$$, значит график выпукл вверх.
Найдём значения функции в характерных точках:
$$y(-1)=0,\qquad y\!\left(-\frac13\right)=\frac{32}{27},\qquad y(0)=1,\qquad y(1)=0,\qquad y(2)=3.$$
По этим точкам строим график функции.
2) $$y=x^3-x^2+x-1$$
Найдём производные:
$$y’=3x^2-2x+1,$$
$$y»=6x-2.$$
Исследуем знак $$y’$$:
$$D=(-2)^2-4\cdot 3\cdot 1=4-12=-8<0.$$
Так как старший коэффициент положителен, то $$y’>0$$ при всех $$x\in\mathbb R$$. Следовательно, функция возрастает на всей области определения.
Выпуклость:
$$y»=6x-2=0 \Rightarrow x=\frac13.$$
При $$x<\frac13$$ график выпукл вниз, при $$x>\frac13$$ — выпукл вверх.
Найдём несколько точек:
$$y(-1)=-4,\qquad y(0)=-1,\qquad y(1)=0,\qquad y(2)=5.$$
По этим точкам строим график функции.
Ответ
1) $$y=x^3-x^2-x+1$$: возрастает на $$(-\infty;-\frac13)\cup(1;+\infty)$$, убывает на $$(-\frac13;1)$$; выпукла вниз при $$x<\frac13$$, выпукла вверх при $$x>\frac13$$.
2) $$y=x^3-x^2+x-1$$: возрастает на всей $$\mathbb R$$; выпукла вниз при $$x<\frac13$$, выпукла вверх при $$x>\frac13$$.
