Упр.316 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- $$y=(x+3)\sqrt{x}$$
- $$y=\frac{(x+1)^3}{x^2}$$
- $$y=x^2\ln x$$
- $$y=\frac{x^2}{(x+2)^3}$$
$$y=(x+3)\sqrt{x}$$
Область определения: $$x\ge 0$$.
Найдём производные:
$$y’=\sqrt{x}+\frac{x+3}{2\sqrt{x}}=\frac{3x+3}{2\sqrt{x}},$$
$$y»=\frac{3x-3}{4x\sqrt{x}}.$$
Так как при $$x>0$$ имеем $$y’>0$$, функция возрастает на $$[0;+\infty)$$.
Выпуклость вниз: $$y»<0$$ при $$0<x<1$$.
Для построения отметим точки: $$\left(0;0\right),\ \left(1;4\right),\ \left(2;5\sqrt{2}\right),\ \left(4;14\right).$$
$$y=\frac{(x+1)^3}{x^2}$$
Область определения: $$x\ne 0$$.
Найдём производные:
$$y’=\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^3},$$
$$y»=\frac{6(x+1)}{x^4}.$$
Промежутки возрастания определяем из неравенства $$y’>0$$:
$$\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^3}>0 \;\;\Longrightarrow\;\; x<0 \text{ или } x>2.$$
Выпуклость вниз: $$y»<0$$ при $$x<-1$$.
Асимптоты:
$$y=\frac{(x+1)^3}{x^2}=x+3+\frac{3}{x}+\frac{1}{x^2},$$
значит, наклонная асимптота $$y=x+3$$, вертикальная асимптота $$x=0$$.
Для построения отметим точки: $$(-1;0),\ (1;8),\ (2;6{,}75).$$
$$y=x^2\ln x$$
Область определения: $$x>0$$.
Найдём производные:
$$y’=2x\ln x+x=x(2\ln x+1),$$
$$y»=2\ln x+3.$$
Промежуток возрастания:
$$y’>0 \Longrightarrow 2\ln x+1>0 \Longrightarrow x>e^{-1/2}.$$
Выпуклость вниз:
$$y»<0 \Longrightarrow 2\ln x+3<0 \Longrightarrow x<e^{-3/2}.$$
Для построения отметим точки: $$\left(e^{-1/2};-\frac{1}{2e}\right),\ (1;0),\ (e;e^2).$$
$$y=\frac{x^2}{(x+2)^3}$$
Область определения: $$x\ne -2$$.
Найдём производные:
$$y’=\frac{x(4-x)}{(x+2)^4},$$
$$y»=\frac{x^2-8x+4}{(x+2)^5}.$$
Промежуток возрастания:
$$y’>0 \Longrightarrow x(4-x)>0 \Longrightarrow 0<x<4.$$
Выпуклость вниз:
$$y»<0 \Longrightarrow \frac{x^2-8x+4}{(x+2)^5}<0.$$
Числитель обращается в нуль при
$$x=4\pm 2\sqrt{3}.$$
Отсюда выпуклость вниз на промежутках $$(-2;\,4-2\sqrt{3})$$ и $$(-2;\,4+2\sqrt{3})$$ с учётом знака знаменателя, то есть на $$(-2;\,4-2\sqrt{3})$$ и $$(-2;\,4+2\sqrt{3})$$ по соответствующим частям области определения.
Асимптоты: $$x=-2$$ — вертикальная, $$y=0$$ — горизонтальная.
Для построения отметим точки: $$(-4;-2),\ (-1;1),\ (0;0),\ (4;\frac{2}{27}).$$
Ответ
1) $$D(y)=[0;+\infty),\ y’=\frac{3x+3}{2\sqrt{x}},\ y»=\frac{3x-3}{4x\sqrt{x}}.$$
2) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{0\},\ y’=\frac{(x+1)^2(x-2)}{x^3},\ y»=\frac{6(x+1)}{x^4},\ y=x+3 \text{ — наклонная асимптота},\ x=0 \text{ — вертикальная асимптота}.$$
3) $$D(y)=(0;+\infty),\ y’=x(2\ln x+1),\ y»=2\ln x+3.$$
4) $$D(y)=\mathbb{R}\setminus\{-2\},\ y’=\frac{x(4-x)}{(x+2)^4},\ y»=\frac{x^2-8x+4}{(x+2)^5},\ x=-2 \text{ — вертикальная асимптота},\ y=0 \text{ — горизонтальная асимптота}.$$
