Упр.315 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=x^2/x-2$$
2. $$y=-x^2+3x-1/x$$
3. $$y=x^2+x-1/x^2-2x+1$$
4. $$y=4+x-2x^2/(x-2)^2$$
5. $$y=\frac{(x-1)^3}{(x-2)^2}$$
6. $$y=x^3/x^2-1$$

1. $$y=\frac{x^2}{x-2}$$

   $$D(y):\ x\ne 2$$

   $$y’=\frac{2x(x-2)-x^2}{(x-2)^2}=\frac{x(x-4)}{(x-2)^2}$$

   $$y»=\frac{8}{(x-2)^3}$$

   $$y’=0 \iff x=0 \text{ или } x=4$$

   $$y»=0 \text{ не имеет решений}$$

   $$y(0)=0,\quad y(4)=8$$

   Асимптоты: $$x=2,\ y=x+2$$

2. $$y=\frac{-x^2+3x-1}{x}=-x+3-\frac1x$$

   $$D(y):\ x\ne 0$$

   $$y’=-1+\frac1{x^2}=\frac{1-x^2}{x^2}$$

   $$y»=-\frac{2}{x^3}$$

   $$y’=0 \iff x=\pm 1$$

   $$y»=0 \text{ не имеет решений}$$

   $$y(-1)=5,\quad y(1)=1$$

   Асимптоты: $$x=0,\ y=-x+3$$

3. $$y=\frac{x^2+x-1}{x^2-2x+1}=\frac{x^2+x-1}{(x-1)^2}$$

   $$D(y):\ x\ne 1$$

   $$y’=\frac{-3x^2+4x-1}{(x-1)^4}$$

   $$y»=\frac{6x}{(x-1)^4}$$

   $$y’=0 \iff 3x^2-4x+1=0 \iff x=\frac13,\ 1$$

   Точка $$x=1$$ не входит в область определения.

   $$y\!\left(\frac13\right)=-\frac54,\quad y(0)=-1,\quad y(2)=5$$

   Асимптоты: $$x=1,\ y=1$$

4. $$y=\frac{4+x-2x^2}{(x-2)^2}$$

   $$D(y):\ x\ne 2$$

   $$y’=\frac{7x-10}{(x-2)^3}$$

   $$y»=\frac{16-14x}{(x-2)^4}$$

   $$y’=0 \iff x=\frac{10}{7}$$

   $$y»=0 \iff x=\frac87$$

   $$y(0)=1,\quad y\!\left(\frac87\right)=\frac{33}{8},\quad y(4)=-6$$

   Асимптоты: $$x=2,\ y=-2$$

5. $$y=\frac{(x-1)^3}{(x-2)^2}$$

   $$D(y):\ x\ne 2$$

   $$y’=\frac{(x-1)^2(x-4)}{(x-2)^3}$$

   $$y»=\frac{6(x-1)}{(x-2)^4}$$

   $$y’=0 \iff x=1 \text{ или } x=4$$

   $$y»=0 \iff x=1$$

   $$y(1)=0,\quad y(3)=8,\quad y(4)=\frac{27}{4}$$

   Асимптоты: $$x=2,\ y=x+1$$

6. $$y=\frac{x^3}{x^2-1}$$

   $$D(y):\ x\ne \pm 1$$

   $$y’=\frac{x^2(x^2-3)}{(x^2-1)^2}$$

   $$y»=\frac{2x(x^2+3)}{(x^2-1)^3}$$

   $$y’=0 \iff x=0 \text{ или } x=\pm\sqrt3$$

   $$y»=0 \iff x=0$$

   $$y(0)=0,\quad y(\sqrt3)=\frac{3\sqrt3}{2}$$

   Асимптоты: $$x=\pm 1,\ y=x$$

Ответ

1) $$D(y): x\ne 2$$, асимптоты $$x=2,\ y=x+2$$, точки $$\left(0,0\right),\left(4,8\right)$$.
2) $$D(y): x\ne 0$$, асимптоты $$x=0,\ y=-x+3$$, точки $$(-1,5),(1,1)$$.
3) $$D(y): x\ne 1$$, асимптоты $$x=1,\ y=1$$, точки $$\left(\frac13,-\frac54\right),(0,-1),(2,5)$$.
4) $$D(y): x\ne 2$$, асимптоты $$x=2,\ y=-2$$, точки $$\left(0,1\right),\left(\frac87,\frac{33}{8}\right),(4,-6)$$.
5) $$D(y): x\ne 2$$, асимптоты $$x=2,\ y=x+1$$, точки $$\left(1,0\right),(3,8),(4,\frac{27}{4})$$.
6) $$D(y): x\ne \pm1$$, асимптоты $$x=\pm1,\ y=x$$, точки $$\left(0,0\right),\left(\sqrt3,\frac{3\sqrt3}{2}\right)$$.